Самые распространенные в современном мире методы расчетов - десятичный и двоичный. Они используются в совершенно разных областях, но оба одинаково важны. Нередко требуется и перевод из двоичной в десятичную систему или наоборот. Названия произошли от оснований, которые зависят от того, сколько знаков используется в записи чисел. В двоичной это только 0 и 1, а в десятичной - от 0 до 9. В других системах помимо цифр используются буквы, другие значки и даже иероглифы, но практически все они уже давно устарели. Поскольку даже другие разновидности числовых систем гораздо менее распространены, то что речь пойдет прежде всего о двух уже упомянутых. На самом деле удивительно, как все это можно было придумать. Поговорим на эту тему отдельно.
История возникновения
Даже сейчас, когда, казалось бы, весь мир считает одинаково, встречаются самые разные системы. В самых отдаленных уголках земного шара довольствуются лишь понятиями "один", "два" и "много", или чем-то подобным. Что уж говорить о тех временах, когда людям было гораздо сложнее контактировать друг с другом, так что использовалось огромное количество самых разных видов записей и методов подсчетов. Человечество далеко не сразу пришло к существующей системе, и это отражается в том, что час разделен на 60 минут, а не на 100 отрезков времени, что было бы, кажется, логичней. И в то же время люди чаще считают десятками, чем дюжинами. Все это отголоски того времени, когда инструментами для количественной оценки чего-либо служили собственные пальцы или, например, фаланги некоторых из них. Так возникли десятичная и двенадцатиричная системы. Но как же возникла двоичная? Очень просто и логично. Дело в том, что, например, у диодов есть всего два положения: он может быть либо включен, либо выключен. Первое состояние, таким образом, можно записать как 1, а второе - как 0. Однако это не означает, что двоичная система возникла одновременно с электронными приборами. Ее использовали гораздо раньше, например, Лейбниц считал ее крайне удобной, изящной и простой. Даже удивительно, что эта система счисления не стала в итоге основной.
Сферы применения
Для большинства людей две основные системы счисления просто не пересекаются. Так что осуществлять перевод из двоичной в десятичную - задача, посильная не для всех. Дело в том, что последняя система используется в обиходе, общении между людьми, при простых подсчетах и т. д. А вот на языке двоичной говорят все цифровые приборы, в первую очередь компьютеры. Любая информация, находящаяся в памяти каждого настольного ПК, планшета, телефона, ноутбука и многих других приборов - это различные сочетания нулей и единиц.
Отличия и особенности
Когда речь идет о системах счисления, обязательно необходимо как-то разграничить их. Ведь отличить 11 или 100 в разных методах записи просто так совершенно невозможно. Именно поэтому используется указатель ниже и правее самого числа. Так что, увидев запись 11 2 или 100 10 , можно понять, о чем идет речь. Обе системы являются позиционными, то есть от места той или иной цифры зависит ее значение. О разрядах десятичной системы рассказывают в школе: там есть единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. В двоичной все то же самое. Но в связи с тем, что ее основание - 2 - меньше 10, то разрядов ей нужно гораздо больше, то есть запись чисел получается гораздо длиннее. Кстати, в двоичной, как и во всех других системах, кроме десятичной, как самой распространенной, чтение происходит особым образом. Если основание 10 дает возможность прочесть 101 как "сто один", то для 2 это будет "один ноль один".
Возвращаясь к вопросу разрядов, необходимо повторить, что в связи с гораздо меньшим основанием требуется больше разрядов. Так, например, 8 10 - это 1000 2 . Разница очевидна - один разряд и четыре. Еще одно серьезное отличие - в двоичной системе не существует отрицательных чисел. Разумеется, записать его можно, но храниться и зашифровываться оно все равно будет иначе. Итак, как же производится перевод из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот?
Алгоритм
Достаточно редко, но все-таки иногда приходится осуществлять переход от одного основания к другому. Иными словами, возникает потребность в том, чтобы произвести перевод из двоичной системы в десятичную и наоборот. Современные компьютеры делают это легко и быстро, даже если записи очень длинные и объемные. Люди тоже могут это делать, хоть и гораздо медленнее и менее эффективно. Провести и одну, и вторую операцию не так уж и сложно, но требуются знания, как это делать, внимательность и практика. Для того чтобы перейти от основания 2 к 10, необходимо проделать следующие шаги:
2) последовательно умножить значение на 2, возведенное в степень, равную номеру позиции;
3) сложить полученные результаты.
Еще один способ - начать суммировать произведения цифр последовательно справа налево. Это называется преобразованием методом Горнера и многим кажется более удобным, чем обычный алгоритм.
Для того чтобы провести обратную операцию, то есть перейти от десятичной системы к двоичной, нужно сделать вот что:
1) разделить изначальное число на 2 и записать остаток (1 или 0);
2) повторять шаг 1 до момента, когда останется только 0 или 1;
3) записать полученные значения по порядку.
Существуют и другие способы провести перевод из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот. Но они не имеют никакого преимущества перед описанным алгоритмом, не являются более эффективными. Зато они требуют навыков осуществления арифметических действий в двоичной системе, что доступно очень немногим.
Дроби
К счастью или сожалению, но факт остается фактом - в двоичной системе используются не только целые числа. Перевод дробей - не слишком сложная, но зачастую трудоемкая для человека задача. Если изначальное число представлено в десятичной системе, то после преобразования целого числа все, что после запятой, нужно уже не делить, а умножать на 2, записывая целые части. Если же производится перевод из двоичной в десятичную систему, то все еще проще. В этом случае, когда начнется преобразование части после запятой, степень, в которую возводится 2, будет последовательно равняться -1, -2, -3 и т. д. Лучше всего будет рассмотреть это на практике.
Пример
Для того чтобы понять, как применять описанные алгоритмы, необходимо проделать все операции самостоятельно. Практикой всегда можно закрепить теорию, так что лучше всего будет рассмотреть следующие примеры:
- перевод 1000101 2 в десятичную систему: 1х2 6 + 0х2 5 + 0х2 4 + 0х2 3 + 1х2 2 + 0х2 1 + 1х2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10 ;
- с помощью метода Горнера. 00110111010 2 = 0х2+0=0х2+0=0х2+1=1х2+1=3х2+0=6х2+1=13х2+1=27х2+1=55х2+0=110х2+1=221х2+0=442 10 ;
- 1110,01 2: 1х2 3 + 1х2 2 + 1х2 1 + 0х2 0 + 0х2 -1 + 1х2 -2 = 8+4+2+0,25 = 14,25 10 ;
- из десятичной системы: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;
Как не запутаться?
Даже на примере лишь двоичной и десятичной систем становится ясно, что смена основания вручную - нетривиальная задача. А ведь есть еще и другие: шестнадцатиричная, восьмеричная, шестидесятиричная и т. д. При ручном переводе из одной системы счисления в другую крайне необходима внимательность. Не запутаться действительно сложно, особенно если запись длинная. Кроме того, нельзя забывать, что разряды считаются с 0, а не 1, то есть количество цифр всегда будет на одну больше. Разумеется, нужно внимательно подсчитывать число разрядов и не допускать ошибок в арифметических действиях и, конечно, не пропускать шаги в алгоритме. В конечном итоге, существуют способы осуществлять переход между основаниями программными методами. Но здесь проще самостоятельно написать скрипт, чем искать его на просторах всемирной сети. В любом случае, навыки ручного перевода, как и теоретическое представление о том, как это делается, тоже должны быть.
| 6 классы | Планирование уроков на учебный год | Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления
Урок 5
Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления
Работа с приложением Калькулятор
 |
|
 |
 |
Перевод целых десятичных чисел в двоичный код
Способ 1
Попробуем представить число 1409 в виде суммы членов второго ряда.
Воспользуемся методом разностей. Возьмем ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:
1409 - 1024 = 385.
Возьмем ближайший к полученной разности, но не превосходящий ее член второго ряда и составим разность:
385 - 256 = 129.
Аналогично составим разность: 129 - 128 = 1.
В итоге получим:
1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.
Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в нее только один раз.
Числа 1 и 0, на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число 1409, но в его другой, двоичной записи: 10110000001.
Результат записывают так:
1409 10 = 10110000001 2 .
Исходное число мы записали с помощью 0 и 1, другими словами, получили двоичный код этого числа, или представили число в двоичной системе счисления.
Способ 2
Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.
Пример:
В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую - результат целочисленного деления предыдущего числа на 2.
В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на 2.
Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 1409 10 = 10110000001 2 .
Первые 20 членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,1111, 10000. 10001. 10010. 10011. 10100.
Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную
Способ 1
Пусть имеется число 111101 2 . Его можно представить так:
Способ 2
Возьмем то же число 111101 2 . Переведем единицу 6-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы 5-го разряда, для чего 1 умножим на 2, ибо единица 6-го разряда в двоичной системе содержит 2 единицы 5-го разряда.
К полученным 2 единицам 5-го разряда прибавим имеющуюся единицу 5-го разряда. Переведем эти 3 единицы 5-го разряда в 4-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 4-го разряда: 3 2 + 1 = 7.
Переведем 7 единиц 4-го разряда в 3-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 3-го разряда: 7 2 + 1 = 15.
Переведем 15 единиц 3-го разряда во 2-й разряд: 15 2 = 30. В исходном числе во 2-м разряде единиц нет.
Переведем 30 единиц 2-го разряда в 1-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу: 30 2 + 1 = 61. Мы получили, что исходное число содержит 61 единицу 1-го разряда.
Письменные вычисления удобно располагать так:
Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор
.
Проведем небольшой эксперимент .
1. Запустите приложение Калькулятор и выполните команду [Вид-Инженерный] . Обратите внимание на группу переключателей, определяющих систему счисления :
2. Убедитесь, что Калькулятор настроен на работу в десятичной системе счисления. С помощью клавиатуры или мыши введите в поле ввода произвольное двузначное число. Активизируйте переключатель Bin и проследите за изменениями в окне ввода. Вернитесь в десятичную систему счисления. Очистите поле ввода.
3. Повторите пункт 2 несколько раз для других десятичных чисел.
4. Настройте Калькулятор на работу в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, какие кнопки Калькулятора и цифровые клавиши клавиатуры вам доступны. Поочередно введите двоичные коды 5-го, 10-го и 15-го членов натурального ряда и с помощью переключателя Dec переведите их в десятичную систему счисления.
Инструкция
Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Вам понадобится
- - листок бумаги;
- - карандаш или ручка;
- - калькулятор.
Инструкция
Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.
Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.
Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.
Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа
в десятичной записи равны 8062.
Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа
равны 12713.
Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисления
Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.
Инструкция
Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.
Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
|
n (степень) |
|||||||||||
Пример.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
|
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
|
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Способы представления чисел
Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.
Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счисления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.
Пример №1
.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.
Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3
. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.
Пример №4
.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10
Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления.
108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10
Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.
108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
- Из десятичной системы счисления:
- разделить число на основание переводимой системы счисления;
- найти остаток от деления целой части числа;
- записать все остатки от деления в обратном порядке;
- Из двоичной системы счисления
- Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
- Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблица соответствия систем счисления:
| Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления