действие. Остальные учащиеся отгадывают по этому действию, где находится ученик. Снача ла учитель сам показывает, как это делать.
Например: Учитель делает вид, что копает. Ученик 1: Are you in the kitchen?
Учитель: No.
Ученик 2: Are you in the garden?
Учитель: Yes . И т. д.
Если осталось время
Можно провести игру Bingo со всем классом. Учитель пишет на доске следующие слова:radio, bath, chair, table, tree house, garden . Он предлагает детям выбрать 4 слова и написать их в тетрадях. Затем учитель произносит слова в произвольном порядке. Каждый раз, когда дети слышат свое слово, они вычеркивают его. Побеждает тот, кто первым вычеркнет все свои слова и скажет:Bingo.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 19, упр. 2, 3). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные рекомендации по работе с ними можно найти на с. 118.
Portfolio (с. 38)
Задачи урока : закрепить языковой материалмодуля 1; научить детей писать о своей комнате/спальне; развивать навыки чтения, говорения, письма и аудирования.
Ход урока
1. Учитель и дети приветствуют друг друга.
2. Учитель проверяет домашнее задание в «Рабочей тетради». Затем дети демонстрируют свои поделки – домики. Учитель задает им вопросы, например: What"s this? (A house, a door и т. д.),What colour is the …?
В классе устраивается выставка детских поделок.
3. Учитель пишет на доске крупно номер стра ницы «38» и говорит: Open your books at page thirty eight!
4. С. 38. Учитель обращает внимание детей на картинку, изображающую спальню, и просит их сказать, что они видят на ней, и назвать цвет предметов. Затем учитель читает текст. Дети повторяют хором и индивидуально.
5. Учитель объясняет детям, что они должны написать о своей комнате/спальне. В классе учащиеся выполняют задание в тетради. Учитель подходит и помогает детям по мере необходимости. Затем учащиеся читают свои
мини сочинения вслух. После того как учитель проверит письменные работы, учащиеся дома переписывают свой рассказ на отдельный лист
бумаги и иллюстрируют его картинками или своими рисунками. В классе устраивается выставка детских работ. Учитель напоминает детям о том, как сделать запись в «Языковом портфеле».
Spotlight on the UK (с. 38)
Spotlight on Russia (с. 136)
Задачи урока: познакомить детей с тем, что можно увидеть в садах в Великобритании и России; развивать навыки чтения и аудирования.
Активная лексика: the UK, Russia(n), bird house, green house, country house, love, village.
garden gnome, grow, fruit, vegetable, flowers, people, their, them, You can see.
Оснащение урока: картинки, вырезки из журналов с изображением фруктов, овощей и цветов.
Ход урока
1. На доске учитель пишет заголовок Gardens и просит детей назвать то, что они могут видеть в саду, используя известную им лексику модуля (a tree, a table, a chair, a cat, a dog ).
2. С. 38, Gardens in the UK. Учитель обращает внимание детей на картинки и говорит, что можно увидеть в садах Великобритании (здесь же вводится слово the UK ). Учащиеся слушают и повторяют за учителем слова a bird house, a green house, a garden gnome , а затем читают их самостоятельно. После этого учитель читает текст, а дети следят по учебнику. Учитель обращает внимание на новые слова. Затем он спрашивает учащихся:
What can people see in the gardens in the UK? (A bird house, a green house, a garden gnome.)
What can people see in the gardens in Russia?
3. С. 136, Gardens in Russia. На доске под словом
Gardens учитель пишет заголовки:fruit, vege tables, flowers . Он просит детей (если это необходимо, на родном языке) назвать фрукты и овощи, которые могут расти в садах, и спрашивает, знают ли они какие либо названия фруктов, овощей или цветов по английски (это могут быть интернациональ ные слова, слова, встречающиеся в названиях продуктов, и т. д.). Затем учитель прикрепляет к доске картинки, которые он принес, и называет слова по английски, а дети повторяют хором, например:
Fruits: apples, cherries… Vegetables: tomatoes, peppers…
Flowers: roses, sunflowers…
4. Учитель обращает внимание детей на картинки в учебнике и объясняет, что это
некоторые из овощей, фруктов и цветов, которые люди выращивают в своих огородах и садах, и просит прочитать слова под картинками.
5. После этого учитель читает текст, а дети следят по учебнику. Он объясняет значение новых слов.
Затем учитель спрашивает: What do you/peo ple grow in your/their garden(s)? (вопрос переводится) Дети отвечают:Fruits/vege tables/flowers/ и т. д.
Вариант проектной работы
Учитель просит детей нарисовать их собствен ный сад и раскрасить, а также надписать фрукты, овощи, цветы и другие предметы, которые там находятся, опираясь на прочи танные тексты. Задание выполняется в классе или дома. Сначала работы демонстрируются в классе, а затем дети помещают их в свой «Языковой портфель». Учитель напоминает детям о том, как сделать запись в «Языковом портфеле».
Fun at school (с. 39)
Задачи урока: дать начальное представление о
законах физики (межпредметные связи): научить детей изготавливать телефон из спичечных короб ков с его последующим использованием на уроке английского языка.
Лексика для рецептивного усвоения: box telephone, matchboxes, paper clips, toothpick, a long piece of string.
Оснащение урока: два спичечных коробка, две скрепки, зубочистка, катушка толстой нитки.
Ход урока
1. Учитель говорит детям, что они будут делать телефон из спичечных коробков. На родном языке он выясняет, что дети знают об истории изобретения телефона (если учитель считает это необходимым). Учитель спрашивает детей, знают ли они, кто изобрел телефон (Alexander Graham Bell ), какие были теле фонные аппараты раньше, какие у них сейчас телефоны.
2. Учитель обращает внимание детей на
материал, необходимый для создания их собственного телефона, и на последова тельность действий. Дети работают парами. Вот минимальный объем английского языка, который дети способны понять, следя за действиями учителя.
Учитель говорит, используя жесты и показывая на предметы, которые он упоминает.
This is a box telephone. I need 2 matchboxes, 2 paper clips (рис. 1).
Then I take a paper clip and the string. See how I do it (рис. 2, 3).
Here is a box telephone. Let"s talk to each other
Как сделать телефон (см. рис. на с. 39)
1) Проделайте отверстие зубочисткой в центре основания спичечных коробков.
2) Проденьте один конец нитки через скрепку и закрепите его узлом.
3) Проденьте нитку через отверстие изнутри одного спичечного коробка и тяните нитку до тех пор, пока скрепка не коснется дна коробка. Протяните нитку через отверстие второго коробка снаружи. Проденьте нитку через вторую скрепку и закрепите ее узлом. Осторожно тяните нитку до тех пор, пока вторая скрепка не коснется дна второго коробка изнутри.
4) Теперь телефон готов. Держите нитку натя нутой так, чтобы она ни к чему не прикасалась. Когда человек говорит в спичечный коробок, нитка колеблется от звука. Звуковые волны проходят по нитке к другому спичечному ко робку, и вас станет слышно. Учащиеся исполь зуют свои телефоны, чтобы повторить основ ные лексические образцы. Дети задают друг другу вопросы об именах, семье, доме и т. д.
The Town Mouse & the
Country Mouse (с. 40–41)
Задачи урока: закрепить языковой материал модуля; развивать навыки чтения, аудирования и говорения.
Активная лексика/структуры: like, mouse, mice, town, two.
Повторение лексики/структур: house, nice, love ly, table, chair, bedroom, bathroom, kitchen, home, Where"s …?
Лексика для рецептивного усвоения: bare, small, but, very, want, Oh dear! Welcome to my house!
Оснащение урока: картинки с изображением города и сельской местности.
Ход урока
1. Учитель приносит в класс картинки с изобра жением города и сельской местности, с помощью которых вводятся слова town иcountry . Затем учитель знакомит детей с персонажами сказки. Держа свой учебник перед классом, учитель показывает на персо нажей и говорит:Town Mouse, Country Mouse . Учащиеся повторяют за учителем. Затем учитель приглашает двух учащихся выйти к доске и поприветствовать друг друга от имени персонажей.
Например: Ученик 1: Hello, Country Mouse.Ученик 2: Hello, Town Mouse.
2. Дети работают парами, обмениваясь привет ствиями от имени персонажей сказки. Учитель подходит к детям и помогает им, если это необходимо.
3. Учитель пишет на доске крупно номер стра ницы «40» и говорит: Open your books at page forty!
4. Учитель просит детей сказать, что они видят на картинках, иллюстрирующих сказку. Напри мер, учитель задает следующие вопросы:
Who"s this? (указывая на мышек по очереди)What"s this? (указывая на домик деревенской мышки)Where"s the Town Mouse? What colour is the window? И т. д.
Если имеется видеокассета к УМК, то в первый раз рекомендуется показать эпизод сказки после пункта 4.
5. Включается запись сказки. Дети слушают и следят за текстом сказки.
6. Учитель проверяет, как учащиеся поняли содержание.
7. Затем учитель читает сказку по строчкам. Дети слушают, следят за текстом и повторяют хором и индивидуально. Дети слушают кассету столько раз, сколько учитель считает необхо димым.
8. Учитель читает начало предложений из сказки, предлагая учащимся закончить их.
9. Учащиеся читают сказку по ролям.
10. С. 131, упр. 1, 2. Учитель обязательно объяс няет, как выполнять упражнения.
1. 1. с 2.d 3.b 4.a |
|
2. town, house, Mouse |
Now I know! (с. 42–43)
Задачи урока : закрепить языковой материалмодуля 1.
1. Учитель пишет на доске крупно номер стра ницы «42» и говорит: Open your books at page forty two!
2. С. 42, упр. 1. Учащиеся произносят имена персонажей и названия комнат. Учитель читает пример сам или просит сделать это наиболее подготовленных учащихся. Затем учитель обращает внимание детей на рисунок, на стрелочки и, если это необходимо, объяс няет, как выполнить задание. Учащиеся рабо
тают в парах по остальным картинкам. Учитель подходит к учащимся и слушает их ответы.
3. С. 43, упр. 2. Учащиеся читают слова и выбирают соответствующие картинки, записы вая ответы в тетрадях. На это отводится 2–3 минуты, затем ответы проверяются.
1.A 2.C 3.A 4.B
4. С. 43, упр. 3. Учащиеся выполняют упраж нение в тетрадях. На это отводится 4-5 минут, затем ответы проверяются.
1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 6.B
Оценка знаний учащихся (см. «Банк ресур сов», с. 86).
Дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 20-21, упр. 1-4). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные реко мендации по работе с ними можно найти на с. 118.
Progress Check (Тест к модулю 1)
В начале урока учитель проверяет домашнее задание из «Рабочей тетради» I Love English . Таким образом дети получают возможность еще раз повторить материал модуля перед выполнением теста.
Когда дети сделают задания в Progress Check , учитель объясняет им, что надо сделать в рубрикеMy Score . Дети отмечают галочкой картинку, которая показывает, насколько успешно, по их мнению, они выполнили тест. Затем учитель собирает тесты на проверку.
My Language Portfolio
Учитель предлагает детям выполнить часть упражнений или все упражнения для модуля 1 на с. 7–9. (Дополнительные рекомендации по работе с этими упражнениями можно найти на с. 130 в разделе «Языковой портфель».)
Модуль 2 – My Birthday!
Урок 4a (с. 44–45)
Задачи урока: научить учащихся говорить о воз! расте и дне рождения; познакомить c числитель! ными от 1 до 10; развивать навыки аудирования, чтения и говорения.
Активная лексика/структуры: birthday, candles, party, happy, sad, числительные от 1 до 10 ; How old are you? I"m … Happy Birthday (to you)!
Повторение лексики/структур: комнаты в доме. Лексика для рецептивного усвоения:today, surprise, up, down.
Оснащение урока: карточки с цифрами от 5 до 10; картинкиcandles ,party ,happy ,sad ; поздрави! тельная открытка с днем рождения.
Начало урока
1. На доске написаны слова bathroom ,bedroom ,kitchen ,living room . Учитель произносит слова одно за другим и просит детей мимикой и жестами показать, какие действия обычно происходят в этой комнате. Затем дети читают эти слова хором и индивидуально.
2. Учитель прикрепляет на доске картинки can! dles ,party ,happy ,sad и произносит соот! ветствующие слова. Дети повторяют хором и индивидуально. Затем учитель говорит:You are happy! илиYou are sad! - и дети делают соответственно счастливое или печальное лицо.
Учитель пишет на доске числительные от 1 до 10 и произносит их, дети повторяют хором и индивидуально. Показывая на цифры в произвольном порядке, учитель просит отдельных детей назвать их.
Примечание. Вводя словоcandles , учитель говорит, что в английском языке слова образуют множественное число, как правило, с помощью окончания!s .
3. Учитель пишет на доске крупными цифрами номер страницы «44» и говорит: Open your books at page forty!four!
4. Учитель читает заголовок урока My Birthday! Используя поздравительную открытку с днем рождения или простой рисунок на доске, он
объясняет значение слова birthday .
5. С. 44, упр. 1. Показывая на картинки, учитель говорит:Look! Candles, a party, happy, sad . Дети
повторяют за учителем. Затем они слушают кассету и повторяют слова в паузах хором и индивидуально. После этого учитель произно! сит слова в произвольном порядке, а дети показывают на соответствующую картинку и произносят слово. Затем они читают слова самостоятельно.
6. С. 44, упр. 2. Показывая на первую картинку, учитель говорит:a bus driver - а затем спра! шивает детей о Лулу:Who"s this? После этого учитель читает образец, показывая на персонажей. Дети повторяют хором и индиви! дуально. Затем дети показывают на цифры и называют их, обращая внимание на то, как пишутся слова, обозначающие цифры. Учи! тель читает вопрос, и дети по очереди отвечают на него, используя данные цифры. После этого дети работают в парах, задавая вопрос и отвечая на него по очереди с
помощью картинок. Они могут разыграть мини!диалог от имени водителя автобуса и Лулу перед классом.
7. С. 45, упр. 3. Учитель просит детей ответить на вопросы о том, что они видят на картинках, иллюстрирующих диалог. Например, показы! вая на Лулу на первой картинке, учитель спрашивает:Who"s this? Is she happy or sad?
8. Дети слушают кассету и смотрят на картинки, иллюстрирующие диалог. Учитель проверяет, как учащиеся поняли текст.
9. Учитель снова включает запись диалога, дети слушают и повторяют в паузах. Учитель следит за их произношением и интонацией. Затем он просит отдельных учащихся прочитать отрывки из диалога к разным картинкам по ролям. Учитель может предложить детям разыграть перед классом короткий отрывок из диалога.
10. С. 45, упр. 4. Учитель приглашает детей посчи! тать вместе с ним какие!нибудь предметы в
классе и таким образом повторить числитель! ные от 1 до 10. Затем учитель читает вопрос и варианты ответа. Дети читают текст еще раз и выбирают правильный ответ.
Ответ: a .
Конец урока
11. Учитель спрашивает детей, сколько им лет: How old are you? Ребенок с помощью учителя отвечает:I"m eight. Затем учитель раздает детям карточки с написанными на них цифра! ми от 5 до 10 и просит двух учащихся выйти к доске и разыграть диалог. Сначала учитель демонстрирует, как это надо сделать.
То же самое проделывают остальные пары учащихся.
Если осталось время
Учитель читает предложения из сюжетного диалога, предлагая учащимся закончить их.
Игра Up and Down . Цель игры – повторить и закрепить числительные.
Учитель загадывает одно из чисел в пределах от 1 до 10 и просит учащихся назвать любое число от 1 до 10. Если число, которое они назвали, меньше числа, которое загадал учитель, он говорит: Up! (жестом поясняя значение словаup ) Если число, которое назвали дети, больше, то учитель говорит:
Down! (жестом поясняя значение словаdown ) Игра продолжается до тех пор, пока дети не угадают задуманное учителем число.
Например: Учитель загадывает число 8.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 24, упр. 1, 2). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные рекомендации по работе с ними можно найти на с. 118.
Урок 4b (с. 46–47)
Задачи урока: повторить числительные, лексику и структуры урока 4а; развивать навыки аудиро! вания, чтения и говорения.
Повторение лексики/структур: happy, sad, can! dles, party, числительные от 1 до 10.
Лексика для рецептивного усвоения: Look at the cake. Count the candles. How many candles? What are they?
Оснащение урока: картинки party, candles, happy, sadпо количеству учащихся (см. «Банк ресурсов», с. 86); цветные карандаши, небольшие листочки бумаги (по 3 для каждого учащегося).
Начало урока
1. Учитель раздает детям картинки из урока 4a: candles, party, happy, sad. Он произносит слова
в произвольном порядке. Например: Show me "happy" . Ребенок поднимает соответствующую картинку и повторяет слово. Упражнение повторяется столько раз, сколько учитель считает необходимым. Затем учитель называет любое числительное от 1 до 10. Дети показы! вают соответствующее количество пальцев и произносят числительное.
Учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
2. Учитель пишет на доске крупно номер стра! ницы «46» и говорит: Open your books at page forty!six!
3. С. 46, упр. 1. Учитель просит детей посмотреть на картинки и на незаконченные предложения под ними. К каждой картинке учитель задает вопрос:
Картинки 1, 2: Is he sad or happy? (Sad/Happy!)Картинка 3: What"s this? (A party.)
Картинка 4: What are they? (Candles.)
Затем дети переписывают предложения в свои тетради и в них выполняют задание упражне! ния – закончить предложения. После этого
учащиеся читают их вслух.
1. He"s sad.3. It"s a party.
2. He"s happy.4. They are candles.
4. С. 46, упр. 2. Учитель обращает внимание учащихся на кружки с цифрами и задает вопросы, например:
Картинка 1: Учитель: What number is this?
Класс: Five. И т. д.
Показывая на картинку с изображением Лулу, учитель задает вопрос: How old is Lulu? Ребенок выбирает нужное слово (five ). Учащиеся читают все предложения и выбирают правиль! ный ответ. Ответы детей проверяются.
2. ten | 4. eight | 6. seven |
3. six | 5. nine |
5. С. 47, упр. 3. Показывая на Лулу, учитель задает вопрос:Is Lulu happy or sad? - и получает ответ:Happy.
6. Включается запись песни. Дети слушают и смотрят на картинку. Во время второго прослу! шивания учитель просит детей иллюстри! ровать мимикой и жестами слова happy иfive , когда они их слышат. Он показывает, как это сделать. Затем учитель проверяет, как дети поняли содержание. После этого учащиеся следят за текстом и проговаривают слова песни за учителем.
7. Запись песни включается еще раз. Дети поют песню, используя соответствующие жесты и мимику.
Конец урока
8. Дети рисуют любое количество свечей в пределах 10 и раскрашивают их. Они
показывают рисунки учителю. Учитель спрашивает, сколько у них свечей.
Например: Учитель: How many candles, Natasha?
Наташа: Nine candles! И т. д.
Каждому ребенку учитель дает по три не! больших листочка бумаги и просит нарисовать на отдельных листочках: a happy face ,a birth! day cake (с помощью картинки на с. 44, упр. 1 учитель объясняет новое слово) и большую цифру 5. Снова включается запись песни, и учитель просит детей поднимать рисунки, когда они слышат соответствующие слова. (Например: они поднимают листочек сhappy face , когда они слышатI"m happy today , листочек сbirthday cake , когда они слышатIt"s my birthday today и листочек с цифрой 5, когда слышатI"m five today .)
Если осталось время
На доске написаны словами цифры от 1 до 10 в произвольном порядке. Показывая на слова, учитель просит детей прочитать их. Затем рядом со словом дети пишут соответствующую цифру. Показывая на различные цифры, учитель снова просит детей прочитать их.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 25, упр. 3, 4). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять.
Урок 5a (с. 48–49)
Задачи урока: научить детей называть продукты; развивать навыки аудирования, чтения и говорения.
Активная лексика/структуры: burgers, chips, apples, bananas, sandwiches, What"s your favourite food? Chocolate, yummy!
Повторение лексики/структур: числительные от 1 до 10 , candles, party, happy, sad.
Лексика для рецептивного усвоения: Give me more! My favourite food is chocolate!
Оснащение урока: картинки candles, party, happy, sad , плакат модуля 2; листы бумаги.
Начало урока
1. На столе учителя картинки candles, party, happy, sad. Двое учащихся выходят к доске. Учитель просит их прикреплять картинки к доске в том порядке, в котором он называет то,
что на них изображено. Учитель спрашивает у класса, правильно ли выполнено задание. Упражнение повторяется с другими парами учащихся.
2. Включается запись песни I"m happy today из урока 4b, и дети поют одновременно с за! писью на кассете.
Введение и отработка лексики/структур
4. На доске плакат модуля 2. Показывая на картинки, учитель произносит соответствую! щие слова burgers, chips, apples, bananas, sand! wiches . Дети повторяют хором и индиви! дуально. Показывая на картинку с яблоками, учитель говорит:Yummy apples! - и при этом жестом и мимикой показывает, что это вкусно. Затем, указывая на картинку с бананами, он делает то же самое. Учитель проверяет, пра! вильно ли учащиеся поняли значение слова. После этого отдельные учащиеся выходят к доске. Учитель произносит слово, а ребенок должен указать на соответствующую картинку на плакате и повторить слово. Упражнение повторяется с другими детьми.
5. Учитель пишет на доске крупно номер страницы «48» и говорит: Open your books at page forty!eight!
6. С. 48, упр. 1. Показывая на картинки, учитель произносит соответствующие слова:Look! Burgers, chips, apples, bananas, sandwiches.
Включается запись упражнения. Дети слушают
и повторяют хором и индивидуально. После этого учитель произносит слова в произволь! ном порядке, а дети указывают на соответ! ствующие картинки. Затем учитель предлагает детям прочитать слова самостоятельно.
7. С. 48, упр. 2. Показывая на картинки с изобра! жением персонажей, учитель выясняет их имена (Nanny Shine and Lulu ). Он читает образец, указывая на персонажей. Дети повторяют хором и индивидуально. Затем учитель читает вопрос, а учащиеся по очереди на него отвечают, используя остальные картинки.
8. Дети разыгрывают мини!диалог от имени няни
и Лулу по всем картинкам.
9. С. 49, упр. 3. Показывая на картинку, учитель спрашивает:Who"s this? Дети отвечают:
Chuckles. Показывая на картинку с изобра! жением шоколада, учитель спрашивает:
What"s this? Дети отвечают: Chocolate.Учитель просит детей сказать, сколько плиток шоко! лада изображено на картинке. Включается запись упражнения. Дети слушают и смотрят на иллюстрацию. Учитель проверяет, как учащиеся поняли рифмовку. После этого учащиеся следят за текстом и проговаривают слова за учителем. При повторном прослуши! вании учитель приглашает детей проговари! вать рифмовку одновременно с записью на кассете. Дети слушают рифмовку столько раз, сколько учитель считает необходимым.
10. Учитель повторяет рифмовку без записи, отбивая ритм хлопками рук или щелчками
пальцев. Он делает паузы с тем, чтобы дети закончили фразу или предложение. Например: Учитель: One, two, three, four,
Ученики: ... chocolate . И т. д.
Конец урока
11. Учащиеся по очереди подходят к плакату, выбирают картинку с изображением своей любимой еды, показывают на нее и говорят:
Chips, yummy! И т. д.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 28, упр. 1, 2). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные рекомендации по работе с ними можно найти на с. 118.
Урок 5b (с. 50–51)
Задачи урока: повторить слова по темеЕда ; развивать навыки аудирования, чтения и гово! рения.
Активная лексика/структуры: I like/don"t like (burgers), I"ve got …
Повторение лексики/структур: burgers, chips, apples, bananas, sandwiches, chocolate, eggs, cheese.
Лексика и структуры для рецептивного усвоения: cake, biscuit, That"s what I like. Yes, please. What has he got?
Оснащение урока: плакат модуля 2; картинкиeggs, biscuits, cheese, chocolate, cake.
Начало урока
1. Включается запись рифмовки One, two, three, four, yummy chocolate из урока 5a. Дети читают рифмовку одновременно с записью на кассете и считают, загибая пальцы.
Учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
Отработка и закрепление лексики/ структур
2. На доске написаны слова из урока 5a, а над ними цифры.
Например: 1 | ||
Дети смотрят на слова и цифры в течение минуты, затем закрывают глаза. Учитель сти! рает все слова. Дети открывают глаза. Учитель просит учащихся выбрать номер и сказать, какое слово было написано под этим номером. Например, 2 – chips . Упражнение повторяется столько раз, сколько учитель считает необхо! димым.
3. Учитель пишет на доске крупно номер страницы «50» и говорит: Open your books at page fifty!
4. С. 50, упр. 1. Учитель обращает внимание детей на картинки и задает вопросы о том, что они видят на них. Например:
Картинка 1 (Учитель показывает на Лулу):
Who"s this? Where is she?
Who"s this? What has he got? И т. д.
5. Учитель предлагает учащимся прослушать сюжетный диалог, следя по картинкам. Вклю! чается запись упражнения. Учитель проверяет, как учащиеся поняли текст.
6. Учитель включает запись еще раз, делая па! узы. Дети слушают и повторяют. Учитель сле! дит за правильностью произношения и инто! нации. Затем он просит отдельных учащихся прочитать отрывки из диалога к разным кар! тинкам по ролям.
Учитель может предложить учащимся разыграть диалог по одной из картинок перед классом.
7. С. 50, упр. 2. Показывая на картинки, учитель просит детей сказать, что на них изображено. Затем он предлагает детям прочитать диалог еще раз и выбрать картинки с изображением продуктов, которые упоминаются в диалоге.
Ответы: burgers, chips, sandwiches, bananas.
8. С. 51, упр. 3. Учащиеся повторяют названия продуктов с помощью картинок на плакате. Затем учитель обращает внимание детей на картинку на с. 51 и просит их назвать продукты, изображенные на ней. Включается запись песни. Дети слушают и смотрят на картинку. Во время второго про! слушивания, держа книгу перед классом, учитель показывает на продукты, которые упоминаются в песне, и называет их. Он предлагает детям петь знакомые слова, показывая на соответствующие картинки. Затем учитель проверяет, как учащиеся поняли содержание песни. После этого учащиеся следят за текстом и проговаривают слова песни за учителем, а затем поют песню одновременно с записью на кассете.
Конец урока
9. Игра A Memory Game («Снежный ком»). На доске написаны все слова по темеЕда :burgers, chips, apples, bananas, sandwiches, chocolate, biscuit, cake, egg, cheese. Показывая на слова поочередно, учитель просит детей произнести их. Затем он объясняет правила игры. Учитель говорит:I"ve got some burgers. Ученик должен повторить это предложение и добавить
название еще одного продукта.
Например: I"ve got some burgers and some apples.
Следующий ученик должен запомнить преды! дущие названия продуктов и добавить к ним свое название и т. д. Тот, кто забывает назва! ние продукта или путает порядок, выбывает из игры.
Упражнение на закрепление материала
Учитель читает начало предложений из сюжет! ного диалога, предлагая учащимся закончить их.
Например: Учитель: This is a lovely …
Класс: ... party! И т. д.
Если осталось время
Анкетирование класса. Учитель задает детям вопрос: What is your favourite food? Показывая на картинки на плакате, он спрашивает:Is it burgers? Дети поднимают руки, если учитель называет их любимую еду. Учитель считает, сколько детей подняли руку, пишет на доске название еды и количество детей, которым нравится эта еда. Закончив анкетирование, учитель говорит:Eight children like burgers. Ten children like chips. И т. д.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 27, упр. 3, 4). Прежде
чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные рекомендации по работе с ними можно найти на с. 118.
Урок 6a (с. 52–53)
Задачи урока: научить детей говорить о любимой еде; развивать навыки аудирования, говорения и чтения.
Активная лексика/структуры: ice cream, pizza, milk, orange juice, chocolate cake, My favourite food is …
Повторение лексики/структур: bananas, chips, burgers, apples, sandwiches, mummy, daddy, grand! pa, grandma.
Лексика для рецептивного усвоения: What"s on the table?
Оснащение урока: плакат модуля 2, цветные карандаши, листы бумаги в форме круга (для каждого ребенка).
Начало урока
1. На доске написаны следующие слова: chips, burgers, apples, bananas, sandwiches . Дети выходят к доске по одному, читают слова и указывают на соответствующие картинки на плакате. Учитель спрашивает у класса, пра! вильный ли это ответ.
2. Включается запись песни Yummy, yummy, chocolate из урока 5b. Дети поют одновре! менно с записью на кассете.
3. Учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
Введение и отработка лексики/структур
4. На доске – плакат модуля 2. Учитель знакомит детей с новыми словами ice cream, pizza, milk, orange juice, chocolate cake , показывая на соответствующие картинки. Дети повторяют хором и индивидуально каждое слово за учителем.
5. Учитель пишет на доске крупно номер стра! ницы «52» и говорит: Open your books at page fifty!two!
6. С. 52, упр. 1. Дети смотрят на картинки и слова под ними. Показывая по очереди на картинки, учитель говорит:Look! Ice cream, pizza, milk, orange juice, chocolate cake. Дети повторяют за учителем. После этого дети слушают кассету и повторяют слова в паузах хором и индиви! дуально. Затем учитель предлагает детям прочесть слова самостоятельно. После этого учитель произносит слова в произвольном порядке и просит детей показать на соответ! ствующие картинки.
7. С. 52, упр. 2. Дети смотрят на картинку, а учитель комментирует:It is a birthday party. Lulu is five today. Учитель задает детям вопрос:What"s on the table? (A chocolate cake.) Затем дети про! слушивают популярную песнюHappy Birthday to you . При повторном прослушивании учитель предлагает детям присоединиться к пению, встав
в круг и обращаясь к «имениннику». (Дополнительные рекомендации по работе с песней даны в Предисловии .)
8. С. 53, упр. 3. Учитель задает детям вопросы по картинкам. Например:
Картинка 1 (Учитель показывает на пер! сонажей):
Who"s this? What"s on the table?
Картинка 2 (Учитель показывает на Ларри):
What has Larry got?
Картинка 3 (Учитель показывает на папу):
What has Daddy got? How many candles?
И т. д.
9. Используя иллюстрации, учитель повторяет с детьми слова mummy ,daddy ,grandma ,grand! pa . Дети слушают запись сюжетного диалога и
смотрят на картинки.
10. При повторном прослушивании учащиеся повторяют предложения в паузах. Учитель следит за правильностью произношения и интонации. Затем отдельные учащиеся читают отрывки из диалога к разным картинкам. Учитель может предложить детям разыграть отрывки из диалога перед классом.
11. С. 53, упр. 4. Учитель читает предложение и просит детей прочитать диалог еще раз и
закончить предложение устно или записать ответ в тетрадях. Ответы детей проверяются. Ответ: pizza .
Конец урока
Упражнение на закрепление материала
Держа свой учебник перед классом, учитель читает диалог, предлагая учащимся закончить предложения.
Например: Учитель: What"s your favourite …
Класс: ... food? И т. д.
Если осталось время
Учитель раздает детям листки бумаги в форме круга и просит «приготовить» свою собст! венную пиццу. Дети «готовят» пиццу из продуктов, названия которых они знают по! английски. Они рисуют ингредиенты пиццы и затем раскрашивают их. Закончив, они представляют свою пиццу классу.
Например: Учитель: Vika, what"s on your pizza?
Вика: Chocolate and cheese!Класс: Mmm, yummy!
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 28, упр. 1, 2). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять. Дополнительные рекомендации по работе с ними можно найти
Урок 6b (с. 54–55)
Задачи урока: повторить грамматические структуры и лексику модуля; научить детей читать буквуc на примере изученных слов; развивать навыки говорения, аудирования и письма, разви!
вать мелкую моторику.
Активная лексика/структуры: I like chips. I don"t like bananas, предлоги to, from.
Лексика для рецептивного усвоения: eat, Hurry, hurry. Here you are.
Оснащение урока: плакат модуля 2; картинки с изображением продуктов для всех учащихся; ножницы.
Начало урока
1. На доске висит плакат модуля 2. Учащиеся повторяют названия напитков и еды. Учитель спрашивает, какая у них любимая еда.
Например: Учитель: Nastya, what"s your
Настя: (My favourite food is) chocolate cake!
2. Включается запись песни Happy birthday to you
из урока 6a. Дети поют песню, встав в круг. Учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
3. Учитель пишет на доске крупно номер стра! ницы «54» и говорит: Open your books at page fifty!four!
Отработка и закрепление лексики/ структур
4. С. 54, упр. 1. Учитель обращает внимание детей на картинку. Показывая на улыбающе! гося мальчика, учитель спрашивает:Look! Is he happy? - и ждет ответа от детей:Yes. Учитель читает слова мальчика:I like chips. Затем учитель задает вопрос о втором мальчике:Is he happy? - и ждет ответа от детей:No. Учитель читает слова второго мальчика:I don"t like bananas! Дети повторяют предложения, показывая мимикой настроение мальчиков, изображенных на картинке.
5. Класс делится на две группы. Учитель раздает детям картинки. Дети из первой группы гово! рят, что они любят, а дети из второй группы говорят, что они не любят из еды, которую они видят на своих картинках. Учитель просит детей мимикой и жестами показывать настро! ение, когда они говорят: I like (chips). I don"t like (ice cream). Упражнение повторяется до тех пор, пока все дети не примут участие в игре. Наконец учитель просит детей выбрать две картинки с изображением еды, которую они любят и которую не любят. Дети говорят о том, что им нравится или не нравится.
6. С. 54, упр. 2. Включается запись упражнения. Учитель обращает внимание детей на произношение буквыc в словеcake - /k/ и сочетания буквch в словеchocolate - / /. Дети слушают и повторяют хором и индивидуально. Учитель следит за правильностью произно! шения и интонации.
7. С. 54, упр. 3. Учитель произносит слова одно за другим. Дети слушают и повторяют хором и индивидуально. Учитель следит за правиль! ностью произношения. Затем дети открывают тетради и записывают слова в две колонки. Учитель проверяет ответы.
cheese cake sandwich candles chocolate
Примечание. Словари дают два варианта
чтения сочетания ch в слове sandwich: / / и / /.
8. С. 55, упр. 4. В «Рабочей тетради» дети находят страницуModule 2 в разделеCraftwork Sheets
и аккуратно вырезают ее, чтобы не выпала парная страница. Учитель говорит детям, что они будут делать поздравительную открытку «С днем рождения!». Он показывает детям открытку, которую сделал сам. Учитель объясняет детям значение предлогов to иfrom . Затем он показывает детям, как вырезать
и подписать открытку. Учитель подходит к детям, помогает им и задает вопросы. Для создания комфортной атмосферы учитель может включить любую песню из модуля.
9. По окончании работы дети читают свои открытки. Кроме того, дети могут ими обменяться и поздравить друг друга с днем рождения: Happy birthday! Затем организуется выставка открыток. Учитель напоминает детям, как сделать запись об открытке в их «Языковом портфеле».
10. С. 55, упр. 5. Учитель обращает внимание учащихся на картинку, затем включается запись песни. Дети слушают и узнают знако! мые слова. Во время второго прослушивания учитель просит детей поднимать картинкиparty, burgers, biscuits, bananas, pizza, sand! wiches, candles, cake, когда они слышат соот! ветствующие слова. Затем учитель про! веряет, как учащиеся поняли содержание. После этого дети следят за текстом и проговаривают слова за учителем, а потом поют песню одновременно с записью на кассете.
Примечание. Эта песня включена в школьную пьесу. Если учитель планирует поставить пьесу, необходимо уделить работе с песней больше времени.
Конец урока
11. На доске нарисован торт со свечами. Учитель спрашивает детей: What"s this? Дети отвечают:A cake. Учитель объясняет детям, что сейчас они будут отмечать день рождения. Дети решают, что из еды у них будет на празднике. Учитель записывает названия продуктов на доске, например:chocolate cake, chips, burgers, sandwiches, biscuits и т. д. Дети повторяют слова хором и индивидуально.
12. Учитель просит отдельных учащихся подойти к доске. Он называет слова, а ученик должен показать на соответствующее слово, а затем повторить его.
Рабочая тетрадь
В классе или дома выполняются упражнения из «Рабочей тетради» (с. 29, упр. 3, 4). Прежде чем задать упражнения на дом, учитель объясняет, как их выполнять.
ними можно найти на с. 118.
Portfolio (c. 56)
Задачи урока: закрепить языковой материал модуля 2; научить детей писать о своей любимойеде; развивать навыки чтения, говорения, аудиро! вания и письма.
Ход урока
1. В начале урока учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
2. Учитель пишет на доске крупно номер страницы «56» и говорит: Open your books at page fifty!six!
3. С. 56. Учитель обращает внимание детей на картинку и просит их назвать еду, изобра! женную на ней(burgers and chips) . Затем учитель говорит:My favourite food is burgers and chips, yummy! - и просит учащихся назвать как можно больше слов по темеЕда . Учитель/ученик читает текст. Учитель просит детей сказать, какая у них любимая еда.
4. Учитель объясняет, что дети должны написать о своей любимой еде. После того как учитель проверит письменные работы, учащиеся переписывают свой рассказ на отдельный лист бумаги и иллюстрируют его картинками или своими рисунками. В классе устраивается выставка детских работ.
5. Учитель напоминает детям, как сделать запись в «Языковом портфеле».
Spotlight on the UK (c. 56)
Spotlight on Russia (c. 136)
Задачи урока: познакомить детей с тради!ционными блюдами британской и русской кухни и с тем, какая еда популярна сегодня в этих странах; развивать навыки чтения, аудирования и гово!
Активная лексика: fish and chips, dish, popular, pie, chicken.
Лексика для рецептивного усвоения: typical, dumplings, kebab, curry.
Оснащение урока: картинки с изображением различных блюд.
Ход урока
1. Учитель проверяет домашнее задание, если оно было задано.
2. С. 56, Food Favourites! Учитель беседует с детьми (если необходимо - на родном языке) о том, какие британские блюда они знают. Учитель обращает внимание детей на картинки в учебнике и объясняет им, что в Велико! британии традиционное любимое блюдо – рыба с картофелем фри. Он спрашивает детей, популярно ли это блюдо в России. Затем учитель объясняет детям, что сегодня в Вели! кобритании стали популярны также кебаб (средневосточное блюдо из кусочков мяса и овощей, подаваемое в особой хлебной лепешке - пите) и карри (индийское блюдо из мяса, овощей, риса, соуса и острых приправ). Это связано с тем, что на английскую кухню оказало влияние кулинарное искусство народов других стран (Индия, Средний Восток и т. д.), так как многие представители этих стран живут сейчас в Великобритании.
Цель метода «Диаграмма сродства» - выявление взаимосвязей между отдельными идеями и решениями, которые на первый взгляд не имеют ничего общего. Это достигается путем группировки идей и решений и выявления глубинных взаимосвязей между полученными группами. Этот метод также называют KJ-методом, латинские буквы К и J- это инициалы создателя предшественника данного метода японского антрополога Дзиро Кавакита (англ. Jiro Kawakita ).
Диаграмма сродства обеспечивает общее планирование. Это творческий инструмент, который помогает уяснить нерешенные проблемы, раскрывая ранее невидимые связи между отдельными частями информации или идеями, путем сбора из разных источников бессистемно изложенных устных данных и их анализа по принципу взаимного сродства (ассоциативной близости).
Алгоритм создания диаграммы сродства
- Участники собираются в комнате с большой доской. Тема обсуждения записывается в верхней части доски. Тема должна быть сформулирована кратко и простым языком, чтобы исключить ее двоякие трактовки. Необходимо убедиться, что все участники процесса правильно понимают заданную тему.
- Выдвигаемые идеи или решения определяются методом . Идеи необходимо формулировать кратко и лаконично, и записывать их на стикерах. Стикеры приклеиваются на доску в произвольном порядке.
- До начала любых дискуссий участники должны передвигать стикеры по доске так, чтобы получились группы взаимосвязанных идей. Обычная стикеры передвигаются по доске много раз, пока не займут нужных мест. В зависимости от числа выдвинутых идей, вся процедура может занять до часа времени. Однако, в некоторых случаях, время, отведенное для упорядочивания идей, можно установить достаточно продолжительным, например, целый рабочий день, несколько дней или неделя. В течение всего этого времени участники могут подходить к доске и перемещать стикеры в соответствии с их видением проблемы и ее решения.
- По окончании процедуры группировки стикеров участники обсуждают окончательную форму результата. С учетом полученных объяснений, почему те или иные стикеры оказались на конкретных местах, возможны еще дополнительные перемещения стикеров. Общее число полученных групп не должно превышать 5-10. Важно дать каждой группе стикеров название. Большие группы можно поделить на подгруппы более низких уровней.
- Теперь можно составить искомую диаграмму сродства. Для этого выделенные группы вместе с названиями заключаются в прямоугольники. Прямоугольники соединяют стрелками для указания связей между группами.
- Заключительный этап - оценка полученной диаграммы сродства с учетом ее дальнейшего использования. В группах (прямоугольниках) содержатся различные предлагаемые решения рассматриваемой проблемы. Эти решения могут влиять друг на друга. Следовательно, предлагаемые решения проблемы должны рассматриваться во взаимосвязи при разработке процессов по совершенствованию.
Пример применения диаграммы сродства
Библиотека получает большое количество негативных отзывов клиентов о качестве обслуживания. Для анализа ситуации решили использовать диаграмму сродства. В состав группы были включены библиотекари. Участники эксперимента (шесть библиотекарей различного возраста, представляющих различные отделы библиотеки) сначала определили предмет исследования. Они формулировали его название с таким расчетом, чтобы получить в результате рекомендации для проведения мероприятий по повышению удовлетворенности обслуживанием клиентов библиотеки. После мозгового штурма доска со стикерами, наклеенными в случайном порядке, выглядела так, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Идеи, расположенные в случайном порядке
После первой попытки сгруппировать идеи, длившейся примерно час, стало ясно, сразу сейчас это сделать не удастся: слишком много сил и энергии отнял мозговой штурм. Поэтому вся информация на доске сохранялась в неизменном виде в течение двух дней. Все это время библиотекари часто подходили к доске, чтобы изменить положение стикеров. Результирующая диаграмма сродства показана на рисунке 2.
Стрелки на диаграмме показывают связи между отдельными элементами, которые оказалось невозможным поместить в какую-либо группу. Это упражнение позволило разработать подходящие меры. Все имеющиеся идеи и решения были разбиты на группы (когорты), в которые включались идеи, имеющие внутренние связи.
Последующая работа была спланирована так, чтобы одновременно принималась во внимание только одна группа идей.
Рисунок 2. Результат группировки идей по сродству
Просмотры: 3 403
В решениях задач о конечных последовательностях из целых чисел, букв, фишек, расстановках их по окружности или в таблице сочетаются различные соображения, связанные с делимостью, комбинаторикой, оценками, использующими индукцию.
Задачи с решениями
1. Сто разных фишек положены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?
Так как разрешается менять местами лишь фишки, стоящие через одну, то фишка, стоящая на чётном месте, может оказаться лишь на чётном месте, поэтому, например, сотая фишка не может стать первой.
Ответ: не удастся.
2. Дана таблица 4 на 4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
Ясно, что расположение семи звездочек, показанное на рисунке ниже, удовлетворяет условию задачи.
Если же звездочек шесть или меньше, то найдутся два столбца, в каждом из которых стоит не более одной звездочки. Вычеркнем оставшиеся два столбца. После этого останется не больше двух звездочек, которые можно вычеркнуть вместе со строками, в которых они стоят.
Замечание. Было бы интересно исследовать общую аналогичную задачу: какое наименьшее число звездочек можно расставить в таблице m на n, чтобы при вычеркивании любых k столбцов и t строк оставалась хотя бы одна звездочка. (Здесь k, t, m, n – натуральные числа, k
3. Дан правильный 45-угольник. Можно ли расставить в его вершинах цифры 0, 1, ... , 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами?
Цифра а образует 9 пар (с каждой из девяти остальных цифр). Чтобы для всех этих пар нашлась сторона 45-угольника, занумерованная соответствующими цифрами, необходимо поставить а по крайней мере в пяти его вершинах. Так как цифр всего десять, то для их размещения необходимо 50 мест. Поэтому требуемое в условии размещение цифр невозможно.
Замечание. С другой стороны, если n четно, то числа 0, 1, 2, ... , n можно так расставить в вершинах правильного (n+1)(n+2)/2-угольника, чтобы для каждой пары этих чисел нашлась сторона с соответствующими числами на концах.
Ответ: нельзя.
4. а) Можно ли выписать в строчку 25 чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел – отрицательна?
б) Один человек каждый месяц записывал свой доход и расход. Может ли быть так, что за любые пять идущих подряд месяцев его общий расход превышал доход, а в целом за год его доход превысил расход?
а) Приведём пример:
–9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9.
Здесь шестнадцать чисел равны 5 и девять чисел равны –9. Очевидно, что сумма любых трёх соседних чисел равна 1, а сумма всех 25 чисел равна –1.
Ответ: можно.
б) Приведем пример:
2, 2, 2, 2, –9, 2, 2, 2, 2, –9, 2, 2.
Здесь выписаны подряд (с учетом знака) разности между доходами и расходами человека (сальдо) за каждый месяц года. Мы видим, что сумма любых пяти последовательных чисел выписанной цепочки отрицательна, равна –1, а в целом за год сумма всех чисел положительна, равна 2.
Ответ: можно.
Замечание. Обобщение рассмотренных задач: в строчку выписано n чисел, при этом сумма любых k соседних чисел положительна (отрицательна); может ли в такой ситуации сумма всех n чисел быть отрицательной (положительной)? Ответ здесь такой: если n кратно k, то этого быть не может, а если n не делится на k, то может. В задаче а) n = 25, k = 3, в задаче б) n = 12, k = 5.
5. Можно ли на окружности расположить числа
а) 0, 1, 2, ... , 9 так, чтобы любые два соседних отличались на 3, 4 или 5;
б) 1, 2, 3, ... , 13 так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
а) Заметим, что никакие два из чисел 0, 1, 7, 8, 9 не могут стоять рядом. Значит, они должны стоять через одно, а остальные пять чисел – между ними. Однако число 2 не может оказаться ни на одном из пяти оставшихся мест, ведь рядом с ним из выписанных чисел может стоять только 7.
Ответ: нельзя.
б) Никакие два из чисел 1, 2, 3, 11, 12, 13 не могут стоять рядом. Следовательно, в шесть промежутков между ними надо поставить остальные семь чисел. В одном из этих промежутков будут два числа из оставшихся, в остальных по одному. Рассмотрим теперь числа 4 и 10. Только 1 может стоять рядом с 4 и только 13 рядом с 10. Тогда 4 и 10 должны стоять рядом, но это противоречит условию.
Ответ: нельзя.
6. а) Докажите, что числа 1, 2, 3, ... , 32 можно расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними.
б) Можно ли числа 1, 2, 3, ... , 100 расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
а) Чтобы получить требуемую расстановку, в одной половине строки запишем четные числа, а в другой – нечетные. При этом полусумма любых двух чисел из разных половин будет не целой и поэтому не содержится между ними. Затем с первой и второй половинами проделаем аналогичную процедуру: каждую из них разобьем на две четверти и разместим в них числа вида 4k, 4k+2, 4k+1 и 4k+3 соответственно: при этом полусумма чисел из разных четвертей в левой половине будет нечетной, а в правой – четной и поэтому не содержится между ними, далее разобьем каждую четверть пополам, причем роль «четных» и «нечетных» чисел теперь будут играть числа с разными остатками от деления на 8 и так далее. В итоге получится такая расстановка:
8, 24, 16, 32, 4, 20, 12, 28, 6, 22, 14, 30, 2, 18, 10, 26,
7, 23, 15, 31, 3, 19, 11, 27, 5, 21, 13, 29, 1, 17, 9, 25.
Доказательство окончено.
б) Для того чтобы доказать это утверждение для любого количества N чисел, достаточно доказать его для N = 2 n (лишние числа можно выбросить; например, из расстановки 128 = 2 7 чисел можно выбросить числа большие 100 и получить нужную расстановку N = 100 чисел). Основная идея уже показана в решении а); более формально и коротко можно изложить доказательство как индукцию по n.
Для n = 1 и n = 2 утверждение очевидно: годятся расстановки (1, 2), (2, 4, 1, 3).
Если a 1 , a 2 , ... , a N – расстановка N = 2 n чисел 1, 2, ... , N, удовлетворяющая условию, то
2a 1 , 2a 2 , ... , 2a N , 2a 1 – 1, 2a 2 – 1, ... , 2a N – 1
будет расстановкой 2N = 2 n+1 чисел 1, 2, ... , 2N, также, как нетрудно убедиться, удовлетворяющей условию: для чисел из разных половин – по соображениям четности, для чисел из одной половины – по предположению индукции.
Ответ: можно.
7. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
а) 8 на 8 клеток,
б) n на n клеток,
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Расположение такого количества фишек ясно из рисунков 1 и 2. Доказательство того, что меньшим числом обойтись нельзя, проще для четного n; на каждой прямой, параллельной одной диагонали, должно стоять по фишке, а на самой диагонали – две (в углах).
Другое доказательство: на каждой показанной на рисунках пунктиром прямой должно стоять по фишке. Именно это доказательство переделывается на случай нечетного n (рисунок 2): кроме 2n–2 пунктирных прямых (на каждой – по фишке), следует рассмотреть еще шесть прямых, соединяющих центры клеток A, B, C, D; на них нужно потратить еще не менее 3 фишек.
Ответ: а) 16 фишек при n = 8; б) 2n фишек при четном n, 2n+1 – при нечетном n.
8. В клетках шахматной доски в произвольном порядке записаны числа 1, 2, 3, ... , 63, 64, по одному в каждой клетке. За один вопрос, указав любую совокупность полей, можно узнать множество чисел, записанных на этих полях. Докажите, что за шесть таких вопросов можно узнать распределение чисел от 1 до 64 по клеткам шахматной доски.
Сформулируем шесть вопросов, ответы на которые позволяют узнать распределение чисел от 1 до 64 по клеткам шахматной доски.
Пусть М i , – множество всех чисел, записанных в клетках 1-й горизонтали доски, где i = 1, 2, ... , 8. Сначала укажем три вопроса, которые позволяют определить распределение чисел по горизонталям, то есть определить множества М 1 , М 2 , … , М 8 .
Первый вопрос: «Назовите множество А всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 3-й, 4-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 2 , М 3 , М 4 ».
Заметим, что после ответа на этот вопрос становится известным не только множество А, но и множество A’ всех чисел, записанных в клетках 5-й, 6-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М 5 , М 6 , М 7 , М 8 .
Второй вопрос: «Назовите множество В всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 5-й, 6-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 2 , М 5 , М 6 ».
После ответа на этот вопрос становится известным и множество B’ всех чисел, записанных в клетках 3-й, 4-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М 3 , М 4 , М 7 , М 8 .
Третий вопрос: «Назовите множество С всех чисел, записанных в клетках 1-й, 3-й, 5-й, 7-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 3 , М 5 , М 7 ».
Если известно множество С, то, очевидно, известно и множество C’, являющееся объединением множеств М 2 , М 4 , М 6 , М 8 .
Зная множества А, В, С (а следовательно, и множества A’, B’, C’), можно найти любое из множеств М 1 , М 2 , … , М 8 . Действительно, множество М 1 –это общая часть множеств А, В, С; множество М 2 – это общая часть множеств А, В, C’; множество М 3 – это общая часть множеств А, B’, С; множество М 4 – это общая часть множеств A, B’, C’ и так далее.
Зная множества М 1 , М 2 , … , М 8 и множества N 1 , N 2 , … , N 8 , можно определить число в любой клетке шахматной доски. Действительно, в клетке на пересечении i-й горизонтали и j-й вертикали записано число, которое является общим для множеств М i и N j .
9. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них – точные квадраты?
Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x 1 , x 2 , ... , x 10 и S. Тогда
S – x 1 = n 1 2 ,
S – x 2 = n 2 2 ,
S – x 10 = n 10 2 ,
где n i – натуральное число. Следовательно, S = (n 1 2 + n 2 2 + … + n 10 2)/9. Пусть n k = 3k (k =1, ... , 10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа x i = S – n i 2 удовлетворяют требованиям задачи. Например,
x 1 + x 2 + ... + x 9 = 9S – (n 1 2 + n 2 2 + ... + n 9 2) = n 10 2 .
Ответ: да, существуют.
10. Правильный шестиугольник разбит на 24 треугольника. Во всех 19 узлах фигуры, показанной на рисунке
записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 треугольников, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания, если мы будем считать против часовой стрелки.
Пусть числа а и b (а
Если числа, записанные в вершинах некоторого треугольника, возрастают при обходе вершин против часовой стрелки, то внутри этого треугольника находятся ровно 2 стрелки, если по часовой стрелке – то ровно одна. Пусть n – количество треугольников первого типа, второго – m (n + m = 24). Общее количество N стрелок внутри шестиугольника равно
2n + m = 2n + 24 – n = n + 24.
Осталось доказать, что N > 31 (тогда n = N – (n + m) > 31 – 24 = 7).
Стрелки, отвечающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведомо лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутрь. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы все большее число.) Итак, N > 30.
Доказательство окончено.
Задачи без решений
1. Какое максимальное число дамок можно расставить на чёрных полях шахматной доски размером 8 на 8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?
2. Можно ли вершины куба занумеровать различными трёхзначными числами, составленными из цифр 1 и 2 так, чтобы номера любых двух соседних вершин различались не менее чем в двух разрядах?
3. Можно ли написать все 12 чисел 1, 2, … , 12 на окружности так, чтобы для любых трёх чисел a, b, c, стоящих подряд, число b 2 = a·c делилось на 13?
4. На листе клетчатой бумаги размером 50 на 50 клеток в каждой клетке записано число. Известно, что в каждых четырёх клетках, которые можно покрыть фигурой вида
сумма чисел равна 4. Докажите, что каждое число равно 1.
5. В концах диаметра окружности стоят единицы. Каждая из получившихся полуокружностей делится пополам, и в её середине пишется сумма чисел, стоящих в концах (первый шаг). Затем каждая из четырёх получившихся дуг делится пополам, и в её середине пишется число, равное сумме чисел, стоящих в концах дуги (второй шаг). Такая операция проделывается n раз. Найдите сумму всех записанных чисел.