Кероскопия (гадание на воске) - один из доступных, увлекательных способов узнать будущее. Этот метод использовался на Руси с древних времен. Основными атрибутами для обряда служили натуральный пчелиный воск, вода и огонь - мощные проводники информации, достоверно показывающие события, ожидающие человека через неделю, месяц, год. В древности кероскопия относилась к разряду святочной (рождественской) ворожбы. Сегодня этот способ узнать будущее используют чаще, не только в праздничные дни.

Описание методики гадания

Гадать на воске несложно. Для проведения обряда отливки потребуется .

Эффективность предсказаний кероскопии доказана наукой и временем - жрецы древнего Египта, Эллады и Вавилона использовали этот способ, чтобы узнать, какие события ждут высокопоставленных персон в будущем.

Сегодня отливка пользуется не меньшей популярностью.

Обрядовая атрибутика

Также подготавливают две емкости. Одну для плавления воска, другую - для отливки. В первом случае можно использовать старую кофейную турку, жестяную консервную банку, столовую ложку. Во втором - глубокую миску или тарелку, чтобы у воска было достаточно места и глубины для формирования символов.

Технология проведения

Проводится гадание на воске и воде после захода солнца, ближе к полуночи, в пустой комнате. Допускаются зрители, если ворожат другому человеку. Но скептически настроенные люди, не верящие в достоверность предсказания, должны удалиться. Окна зашторивают, лампы выключают, ворожат при свечах. Обряд состоит из трех этапов:

1. Подготовка воска. Если в работе используют материал с пасеки, его в руках скатывают небольшим комочком. Восковую свечку разламывают руками, удаляют фитиль, формируют шарик, кладут в емкость для плавки.
2. Плавка материала. Подготовленный восковой шарик кладут в металлическую емкость, которую поднимают и удерживают над пламенем свечи. Он должен полностью расплавиться, стать жидким. Количество воска женщина определяет индивидуально, учитывая, что часть останется на стенках емкости.
3. Выливание. При гадании воск в воду выливают плавным движением руки. При соприкосновении горячей и холодной субстанции возможно шипение, появление пара, других естественных реакций. В воде материал быстро застывает, формируя фигуры. Расшифровка полученных восковых силуэтов - ключевая часть ворожбы.

Рассмотрев полученные очертания, отлитый материал можно либо выкинуть, либо спрятать в укромном месте. Повторно плавить и использовать для ворожбы его нельзя. Воду выливают в канализацию.

Толкование восковых фигур

Читать символы на воске при гадании сложно неподготовленному человеку. Для начинающих ворожей в свободном доступе находится толкование силуэтов, которые наиболее часто можно увидеть в восковом комочке. Рассматривая отливку, женщина должна полагаться на интуицию, уметь работать с ассоциациями, складывать непонятные линии в одну картинку.

После проведения отливки надо подождать 3-5 минут, чтобы воск успел застыть в воде. Затем аккуратно извлечь затвердевший комочек из емкости, стараясь, чтобы мелкие частицы не отделились. Существует несколько способов, по которым проводят толкование ворожбы:

1. При свечах. Отливку помещают между стеной и источником света (пламенем, лампой), изучая тень, замысловатые фигуры.
2. Поэтапная расшифровка. В этом случае женщина изучает символы на всех этапах отливки - с момента соприкосновения воска с водой и после его затвердения. Рассматриваются фигурки, нарисованные каплями на поверхности жидкости, а также после извлечения комочка из емкости. Погадать на воске этим способом решаются опытные ворожеи, т.к. большинство рисунков многосложные - в разном положении отливки они формируют особые образы. Иногда опытные гадалки используют зеркало, чтобы более точно рассмотреть и прочитать предсказание.

Рассматривая комочек, надо руководствоваться интуицией, ассоциациями, чтобы получить максимально точный ответ на поставленные вопросы . Если человек озабочен финансовой ситуацией, он должен обратить внимание на количество мелких капель - чем их больше, тем благоприятнее денежное будущее.

Расшифровка часто встречающихся символов

Перед тем как гадать, надо просмотреть значение фигур при гадании на воске. Такой подход облегчит расшифровку символов, позволит не отвлекаться от изучения отливки. Результат каждой ворожбы индивидуален.

Силуэты, части тела

Наиболее часто в застывшей массе видят очертание людей, части тела. Их значение понятно на интуитивном уровне:

1. Девушка. Символ непостоянства. Для представительницы прекрасного пола - это соперница, сплетница, интриганка. Парню женский силуэт сулит преграды, лицемерие окружающих. Маленькая девочка - это хороший знак. Она означает скрытый потенциал, скорое благополучное разрешение проблемы.
2. Мужчина. Это агрессивный символ, предвещающий схватку, отстаивание своих интересов, защиту слабых. Такое значение гадания на воске призывает быть готовым к любой ситуации - запастись весомыми аргументами, фактами, не дать выставить себя в плохом свете.
3. Ребенок - это символ нового начала, проекта, делового партнерства. Для творческих личностей он означает новую ступень развития, признание, успех.
4. Младенец, зародыш, эмбрион. Для женщины - это предвестник близкой беременности. Если гадать решил мужчина, малыш для него является знаком чего-то нового, неизведанного, не связанного с событиями прошлого или настоящего.
5. Голова в профиль - знак удачи, выигрыша и лотерею, принятия спонтанного, но правильного решения. Если фигуры при гадании на воске сложились в фигуру затылка человека - это плохое предзнаменование. Удача в ближайшее время престанет сопутствовать.
6. - противоречивый символ. Он означает, что в окружении гадающего человека находиться ярый недоброжелатель, который хочет обмануть, подставить, украсть идеи, навредить.
7. Голова. Значение этой фигуры хорошее - указывает на новые перспективы в интересующей сфере жизни, знакомства, достижения.

Очертание человеческого тела надо хорошо рассмотреть. Если оно без рук - надо перестать злоупотреблять своим сегодняшним положением. Напоминает беременность - начатое дело идет к логическому завершению.

Природные явления

Невозможно предугадать, какие символы покажет гадание на воске ворожее. Часто они связаны с природными явлениями:

1. Облако. Значение восковых туч благоприятно для гадающего человека. Они предрекают начало творческого развития, новую любовь. Если облака с вкраплениями, дождевые - это знак дохода, улучшения финансового состояния.
2. Звезда. Проблемы в жизни человека, который решил погадать на свое будущее, разрешатся сами собой, без усилий с его стороны.
3. Снежинки, снег - улучшение физического здоровья. Это противоречивый знак, означающий скорое завершение начатого дела, отношений, без надежды на продолжение.
4. . Важно рассмотреть при свечах форму светила. Полный месяц принесет в жизнь ворожеи любовь, стабильность. Молодая луна - знак финансового благополучия. Старый месяц является плохим предзнаменованием. Человеку стоит в ближайшем будущем отложить принятие важных решений.
5. Волны. Гадание на воске предостерегает о неожиданностях, которые не должны выбивать из колеи.

Солнце на отливке показывается нечасто. Это светлый, благоприятный знак. Его толкование понятно на интуитивном уровне - жизнь будет развиваться гладко, без неожиданностей.

Геометрические фигуры

Линии, формирующие геометрический узор, наиболее часто встречается на отлитых корочках. Они наиболее четко описывают будущее:

1. Прямая линия символизирует начало нового проекта, делового партнерства. Она не показывает успех или поражение в деле. Но для более точного ответа можно параллельно гадать на картах, задав им те же вопросы.
2. Круг является символом зацикленности на поставленном вопросе, чрезмерное беспокойство о чем-то. При свечах форма окружности вырисовывается особо хорошо.
3. Много восковых кругов указывают на логическое завершение дел, отношений.
4. Точки (капли) - деньги, достаток, финансовая стабильность, новые прибыльные проекты, карьерный рост.
5. Спираль - путь к решению давней проблемы. Человек в будущем отыщет любимое занятие, исправит материальное положение.

Цифры, показавшиеся на воске - это . Они уже должны были сыграть в жизни человека важную роль. Если на отливке четко видна цифра 9 (или любая другая), надо припомнить, какие события свершились девятого числа. В будущем им суждено повториться.

Один из самых интересных способов узнать будущее. Проводить его можно как в одиночестве, так и в компании друзей. Для ворожбы не потребуется специальная магическая атрибутика. Достоверный результат можно получить при использовании подручных средств.

Для того чтобы в общих чертах понять, как думает компьютер, начнём с самого начала. Компьютер, по сути, – это много всякой электроники, собранной вместе в правильном порядке. А электроника (до того, как к ней добавили программу) понимает только одно: включена она или выключена, есть сигнал или нет сигнала.

Обычно «есть сигнал» обозначают единицей, а «нет сигнала» – нулём: отсюда и выражение, что «компьютер говорит на языке нулей и единиц».

Этот язык нулей и единиц называют ещё двоичной системой счисления – потому что в ней всего две цифры. Наша привычная система счисления – десятичная, в ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но есть и множество других – восьмеричная, пятеричная, одиннадцатиричная и какая угодно ещё.

У нас с вами нет цифры «десять», правда? Число 10 состоит из двух цифр – 1 и 0.

Точно так же в пятеричной системе счисления не будет цифры «5», только 0, 1, 2, 3 и 4.

Посчитаем в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 и так далее. Можно сказать, что как система счисления называется, такой цифры в ней и нет. В нашей десятичной нет цифры «10», в пятеричной нет цифры «5» (и всех, которые после неё), в восьмеричной – «8» и так далее.

А в шестнадцатиричной «16», например, есть! Поэтому нам шестнадцатиричную систему понять ещё сложнее. Давайте посчитаем в шестнадцатиричной:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0 , A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C и так далее.

Двоичная система счисления, впрочем, тоже выглядит странновато для непривычного взгляда:

0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…

Вот примерно такими числами и думает компьютер где-то внутри себя. Но человеку такими числами думать совершенно неудобно, поэтому мы преобразуем числа из двоичной в более удобную систему счисления.

В компьютерных программах часто используют восьмеричную и шестнадцатиричную системы: компьютеру легко их понять (потому что 8=2*2*2, 16=2*2*2*2, а с двоичной системой компьютер знаком изначально), а для людей это удобно, потому что поближе к привычной десятичной.

Как же переводить числа из одной системы счисления в другую? Чтобы понять принцип, будем, как мы с вами любим, разбираться на конфетах.

И на конфетах мы с вами будем переводить число 33 в восьмеричную систему счисления. Мы решим, что единицы – это сами конфеты, а десятки – это коробки, в каждой из которых лежит по десять конфет. Вот и получится, что 33 – это 3 коробки по 10 конфет и ещё 3 конфеты где-то сбоку.

Но мы переводим наше конфетное богатство в восьмеричную систему счисления, а это значит, что нам надо вытряхнуть все конфеты из коробочек по 10, сложить в коробочки по 8 и посмотреть, что из этого выйдет.

Из 33 получится 4 полных восьмеричных коробочки и 1 конфета останется сама по себе, так как 33/8=4 (ост. 1). То есть 33=8*4 +1 – так в восьмеричной системе счисления получается число 41 .

33 в десятичной – это 41 в восьмеричной. Это одно и то же число, просто разложенное по разным коробочкам, переведённое в разное основание. Количество конфет не поменялось, мы просто считали их по-разному!

Двоичная система, как мы уже выяснили, более странная и непривычная для человеческого взгляда. Давайте попробуем перевести 33 в двоичную – получится аж 16 коробочек по 2! И что же делать? Писать 16 как-то странно, помня о том, что в двоичной системе есть только ноль и единица, а шестёрки, которая нам нужна для шестнадцати, совершенно точно нет!

Посмотрим на нашу десятичную систему. В ней мы считаем десятки – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – а когда у нас набирается десять десятков, мы достаём большую коробку – 100.

У нас 100 – это 10*10, 1000 – 10*10*10, 10 000 – 10*10*10*10 и так далее. Для других систем счисления это работает точно так же! В восьмеричной системе 100=8*8, 1000=8*8*8; в двоичной 100=2*2, а 1000=2*2*2; а в шестнадцатиричной (есть и такая, помните?) 100=16*16, 1000=16*16*16.

Здесь нам пригодятся степени. Если вы их ещё не проходили в школе, не пугайтесь, степени – это очень просто. Число в степени – это число, сколько-то раз умноженное на само себя. То есть 5 3 =5*5*5 (пять в третьей степени – это пять , три раза умноженная сама на себя: 5*5*5), или 8 5 =8*8*8*8*8 (восемь в пятой степени – это восемь , пять раз умноженная на саму себя: 8*8*8*8*8).

Если мы вспомним про наши 10 000=10*10*10*10 в десятичной и 1000=8*8*8 в восьмеричной, то можно легко заметить, что сколько нулей, столько раз и умножаем на само себя. Другими словами, количество символов в числе минус один – это степень, в которую надо возвести основание. В числе 1000 у нас четыре символа, значит умножать надо 4–1 , то есть 3 раза. Если основание 10, то тысяча – это 10, три раза умноженная сама на себя: 10*10*10. Если основание 8, то тысяча – это 8, три раза умноженная сама на себя: 8*8*8.

Обо всём этом мы заговорили, пытаясь перевести 33 в двоичную систему. Просто так поделить это число на коробочки по 2 оказалось затруднительным. Но если вспомнить про наши сотни-тысячи, можно задуматься: а ведь в двоичной 100=2*2, 1000=2*2*2, 10 000=2*2*2*2 и так далее.

Для перевода из десятичной системы в двоичную удобно помнить степени двойки. Даже можно сказать, что без этой хитрости со степенями мы устанем, умаемся и немножко сойдем с ума. А степени двойки выглядят как-то так:

Теперь, глядя на табличку, мы видим, что 33=2 5 +1, то есть 33=2*2*2*2*2+1. Вспоминаем – сколько раз умножаем, столько будет нулей – то есть наше 2*2*2*2*2 в двоичной системе будет 100000. Не забудем оставшуюся в стороне единичку, и получится, что 33 в десятичной – это 100001 в двоичной. Правильно и красиво это записывают так:

33 10 =100001 2

Давайте (чтобы совсем хорошо понять) переведём в двоичную систему число 15.

1. В первую очередь – смотрим в табличку.

а) Какое самое близкое к 15 число в ней? Нет, 16 не подходит, оно больше, а нам нужно самое близкое, которое меньше. Получается, что это 8, то есть 2 3 , то есть 2*2*2.

б) Восемь конфет из 15 разобрали, осталось – 15-8 – семь. Какое ближайшее число из таблички? Нет, восемь снова не подойдет, см. выше. Подойдет четыре, то есть 2 2 , то есть 2*2.

в) Четыре из семи конфет разобрали, осталось – 7-4 – три. Из таблички понимаем, что самое близкое число – 2, то есть 2 1 , то есть просто 2.

г) Три минус два – осталась 1 конфета, тут уже табличка не понадобится. В таблички такого рода можно не смотреть, когда ваш остаток меньше основания, а наша единица точно меньше двойки.

1. Собираем всё найденное в табличке вместе: 15=2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, оно же: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
2. В двоичной системе 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, помните? И у нас получается 1000+100+10+1, то есть 1111.
3. Итак,

15 10 =1111 2

Когда просто смотришь на все эти шаги, кажется, что это просто свалка из Кучи Разных Странно Написанных Цифр . И запутаться во всём этом в первый раз – нормально. И во второй, и в третий. Просто попробуйте сделать это ещё и ещё раз – по шагам, как написано выше, и всё получится.

И наоборот это тоже работает! Например, число 11010101 2 – как из него сделать понятное десятичное? Точно так же, при помощи таблички. Пойдем с конца:

1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

11010101 2 = 213 10

Вот примерно так компьютер понимает привычные нам числа.

Когда смотришь на это в первый раз, кажется, что это, во-первых, совершенно непостижимо, а, во-вторых, вообще не сработает. Поэтому сейчас мы с вами сделаем немножко математической магии, чтобы убедиться, что системы счисления – это такая же реальная вещь, как, например, задача «раздать пятерым детям пятнадцать печенек поровну».

Итак, возьмем пример 15+6 и решим его в разных системах счисления. Понятно, что в нашей, десятичной, получится 21. А что выйдет, например, в восьмеричной?

Переводим 15 в восьмеричную систему счисления. Первый шаг у нас при переводе в другую систему – посмотреть в табличку степеней. 8 2 – это уже 64, и в 15 оно точно уже никак не влезет, поэтому берем 8 1 – то есть просто 8. 15–8=7, оно меньше нашего основания 8, поэтому с ним мы ничего не делаем.

Итак, получилось, что 15=8 1 +7 .

В восьмеричной системе логика точно такая же, как, например, в двоичной: 8 3 – это 1000, 8 2 – это 100, 8 1 – это 10. Получилось, что:

15 10 =17 8

Напомню, наш пример был 15+6. 15 мы перевели в восьмеричную систему, как же перевести 6? Она меньше 8, нашего основания, поэтому ответ – оставить как есть. Наш пример сейчас выглядит так:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8

Теперь мы будем складывать в восьмеричной системе счисления. Как это делается? Так же, как и в десятичной, но надо помнить, что десяток в восьмеричной системе – это восемь, а не десять, и что 8 и 9 в ней не существует.

Когда мы считаем в десятичной системе, по сути, мы делаем так:

15+6=15+5+1=20+1=21

Попробуем проделать тот же фокус в восьмеричной системе:

17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8

Почему 17+1? Потому что 7+1=8, а 8 – это наш десяток! В восьмеричной системе 7+1=10, а значит, 17+1=20. Если на этом месте ваш мозг начинает бить тревогу и рассказывать, что здесь что-то не так, вернитесь в начало статьи, где мы с вами считали в разных системах счисления.

Теперь наш пример выглядит как

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8

Переведем 25 8 обратно в нашу систему счисления. В десятичной мы бы, увидев число 25, могли сказать, что в нём две десятки и пять единиц. В восьмеричной, как вы, наверное, уже догадались, число 25 8 – это две восьмерки и пять единиц. То есть 25 8 =2*8+5=21 10 .

Итак, наш пример целиком:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10

Получилось точно такое же 21, какое вышло у нас в самом начале, когда мы посчитали 15+6 привычным нам способом в десятичной системе.

Арифметические правила не меняются от того, что мы выбрали другую систему счисления.

Поэтому и компьютер, переводя всё в нули и единицы, которые для нас выглядят непонятно и бессмысленно, не теряет при этом информацию, которую мы ему дали, и может, посчитав в удобной ему форме, выдать результат, переведя его обратно в привычный нам вид.

Ответ: 3). Решение: Старший разряд двоичного эквивалента числа 83 равен 6, так как 2 6 =64. Это максимальная степень двойки, которая меньше заданного числа. 83-64=19, значит, следующая единица стоит в 4-ом разряде. 19-16= 3. 3-2=1, эта единица – в нулевом разряде, а число 2 – единица в первом разряде Таким образом, единицы стоят в 0, 1, 4, 6 разрядах, в остальных разрядах – нули. Получаем 1010011 2

Вычислите сумму двоичных чисел x и y , если

x =1010101 2

Ответ: 2). Решение: Вспомним, что 1 2 +1 2 =10 2 , поэтому 1010101 2

Ответ: 3, 7, 21.

Вариант 2006

Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно

Ответ:4). Решение: x = 1D 16 =11101 2 , y = 111010 2 11101 2

B1

В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

Ответ: основание=4. Решение: 17:4=4, остаток 1, 4:4=1, остаток 0. записываем последнее частное и все остатки в обратном порядке. Получаем 101

Вариант 2007

A4

Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

Ответ:3). Решение: 10 8 =1000 2 , 1000 2 · 10 2 =10000 2 , 10 16 =10000 2 В результате сложения 10000 2 + 10000 2 = 100000 2

Или переведем выражение10 16 + 10 8 · 10 2 в десятичную систему счисления. Получим

16 + 8·2 =16+16+32 = 100000 2

B1

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Ответ:6, 9, 18. Решение: Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую нужно делить это число нацело на основание искомой системы счисления. При первом делении мы получаем в остатке целочисленного деления последнюю цифру искомого числа. 4 в остатке получается при делении числа 22 на 6, 9, 18.

Вариант 2008

A 4 Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 194,5?

1) 5 2) 6 3) 3 4) 4

Ответ:4). Решение: Целая часть числа. Старший разряд двоичного эквивалента числа 194 равен 7, так как 2 7 =128. Это максимальная степень двойки, которая меньше заданного числа. 194-128=66, значит, следующая единица стоит в 6-ом разряде. 66-64= 2, это единица – в первом разряде, Таким образом, в целой части числа единицы стоят в 1, 6, 7 разрядах, в остальных разрядах – нули. Получаем 11000010 2 . Дробная часть десятичного числа 0,5 это 0,1 2 , так как двоичная единица в -1 разряде это 2 -1 десятичное, то есть 0,5. Получаем 194,5 = 11000010,1 2

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q -ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q -ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

A 5 Вычислите сумму чисел x и у, при x = A6 16 , y = 75 8 .

Результат представьте в двоичной системе счисления.

Ответ:3). Решение: x = A6 16 = 10100110 2 , y = 75 8 = 111101 2 10100110 2

B 1 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Ответ: 3, 7, 21. Решение: Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую нужно делить это число нацело на основание искомой системы счисления. При первом делении мы получаем в остатке целочисленного деления последнюю цифру искомого числа. Два в остатке получается при делении числа 23 на 3, 7, 21.

Вариант 2009

A3 Дано a=D7 16 , b=331 8 . Какое из чисел с , записанных в двоичной системе, отвечает условию a < c < b ?

1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000

Ответ:4). Решение: a = 11010111 2

Четыре старших разряда всех вариантов ответов и чисел a и b одинаковы, поэтому будем сравнивать сумму весов младших четырех разрядов. Это для a – 7 10 , для b – 9 10 , ищем ответ с числом 8 10 в 4-х младших разрядах. Это 1000 2 , то есть 4-ый вариант ответа.

A 4 Чему равна сумма чисел 43 8 и 56 16 ?

1) 121 8 2) 171 8 3) 69 16 4) 1000001 2

Ответ:2). Решение:

43 8 = 100011 2 56 16 = 1010110 2 1010110

1111001 2 = 171 8

B 3 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.

Ответ: 5, 21 Решение: Среди десятичных чисел > 4 и <25 остаток 1 при делении нацело на 4 (последняя цифра числа в системе счисления с основанием 4) только у чисел 5, 9, 13, 17, 21. Последние две цифры 11 приделении нацело на 4 только– только у числа 5 (остаток 1 и частное 1) и у числа 21 (первый и второй остатки = 1, то есть две последние цифры)

Или проще:

11 4 = 4 1 + 4 0 = 5

111 4 = 4 2 + 5 = 21

1011 4 = 4 3 + 21 > 25

Вариант 2010

A 1

Ответ: 2) Решение: a = 10011101 2

Видно, что число 4) не подходит, оно больше b, больше a и меньше b только число 2)

A 4

Вычислите сумму чисел X и Y, если

Результат представьте в двоичном виде.

Ответ:4) Решение: X=110111 2 = 67 8

X + Y =67 8 +135 8 = 224 8 =10010100 2

A 11

Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г используется посимвольное кодирование: А-00, Б-11, В-010, Г-011. Через канал связи передается сообщение: ВАГБГВ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученную двоичную последовательность переведите в шестнадцатеричный вид.

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Результат уже получен!

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Тема : Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Теория :

· алгоритм перевода чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления

· представление отрицательных целых чисел в памяти в двоичном дополнительном коде:
1 способ:

1. перевести число в двоичную систему счисления,

2. инвертировать биты: заменить нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки,

3. прибавляем 1 к результату, перенося 1 в следующий разряд в случае 2 единиц.

2 способ:

1. уменьшить число на 1 и перевести число в двоичную систему счисления,

2. сделать инверсию битов.

Правила преставления чисел в двоичной системе:

1. четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;

2. числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т. д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей

3. если число N принадлежит интервалу 2k-1 £ N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125 :

i. 26 = 64 £ 125 < 128 = 27, 125 = 11111цифр)

4. числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

5. 16 = 24 = 100002

6. числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:

7. 15 = 24-1 = 11112

если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
15 = 11112, 30 = 60 = 1 120 =

I. Системы счисления. А1_1.

1) Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

1) 100103) 10100

Решение (вариант 1, деление на основание системы счисления N ):

2) последовательно делим число 83 на 2 = Þ 3.

Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):

1) представляем число суммой степеней двойки: 83 = 64 + 16 + 2 + 1 = 26 + 24 + 21 + 20 Þ 3.

2) Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?

3) Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?

4) Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

5) Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?

6) Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?

7) Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?

1) 73AEC16 4) A5616

II. Сколько единиц (двоичная система). А1_2.

1) Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?

Вариант 1, прямой перевод:

1) переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 =

2) считаем «1» Þ 2.

Вариант 2, разложение на сумму степеней двойки:

1) представляем число суммой степеней двойки: 1025 = 1024 + 1 = 210 + 20,

2) сколько в сумме различных степеней двойки – столько «1» Þ 2.

2) Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

3) Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

4) Сколько единиц в двоичной записи числа 64?

5) Сколько единиц в двоичной записи числа 127?

6) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48?

7) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?

III. Отношения. А1_3.

1) Дано: и . Какое из чисел с , записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b ?

1) 110110

Решение:

1. перевести все числа в одинаковую систему счисления и сравнить,

2. выбор системы счисления –

a. минимум операций перевода,

b. простота анализа полученных чисел (2)

Вариант 1 - десятичная система:

3) = 217, 2= 220, = 215, =216

4) верный ответ – 216 Þ – 4 .

Вариант 2 - двоичная система:

1) (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду, старшие нули можно не писать);

2) (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду , старшие нули можно не писать);

3) анализируем поразрядно число от старшего к младшему разряду, выделяем отличные части числа br = 10012, ar = 01112, отсюда число между – 1000, верный ответ - Þ 4.

Вариант 3 – восьмеричная/шестнадцатеричная системы:

1) для 8-чной - нужно знать двоичную запись чисел от 0 до 7, двоичную запись числа разбиваем на триады справа налево , каждую триаду переводим отдельно в десятичную систему;

2) для 16-чной - нужно знать двоичную запись чисел от 8 до 15, двоичную запись числа разбиваем на тетрады справа налево , каждую тетраду переводим в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);

2) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image008_14.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="60" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

4) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="57" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

6) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image017_4.gif" width="57" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

8) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image021_4.gif" width="57" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

10) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

12) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image015_4.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">?

14) Дано: https://pandia.ru/text/78/108/images/image029_3.gif" width="55" height="24 src=">. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ??

19) Какое из чисел является наименьшим?

20) Какое из чисел является наибольшим?

IV. Память. А1_4.

1. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?

Вариант 1.

1) переводим 78 в двоичную систему счисления, добавляя «нули» до 8 бит в старшие разряды:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 0

3) прибавляем единицу: + 1 = ;

4) в записи числа 4 единицы Þ ответ – 2.

Вариант 2.

1) уменьшаем число на 1, переводим в двоичную систему счисления, добавляя «нули» до 8 бит в старшие разряды

77 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 20 = 0

2) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

3) в записи числа 4 единицы Þ ответ – 2.

2. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

3. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35) ?