Рассмотрен пример решения задачи симплекс методом, а также пример решения двойственной задачи.

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом , составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи , в которой производится оценка ресурсов , затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

Пусть x 1 , x 2 , x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max

0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">

Решаем симплекс методом.

Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.

Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

Целевая функция:

0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:

Вводим переменную x 2 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .

= 26.667

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса

3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 2

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6

Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x 1 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса

3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 3

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Решение задачи:

Ответ

x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160

То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.

Решение двойственной задачи

Двойственная задача имеет вид:

Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min

Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">

Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:

Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:

Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

Для изготовления трех видов рубашек используются нитки, пуговицы и ткань. Запасы ниток, пуговиц и ткани, нормы их расхода на пошив одной рубашки указаны в таблице. Найти максимальную прибыль и оптимальный план выпуска изделий ее обеспечивающий (найти ).

рубашка 1

рубашка 2

рубашка 3

Запасы

нитки (м.)

1

9

3

96

пуговицы (шт.)

20

10

30

640

ткань (

1

2

2

44

Прибыль (р.)

2

5

4

Решение задачи

Построение модели

Через и количество рубашек 1-го, 2-го и 3-го вида, предназначенных к выпуску.

Тогда ограничения на ресурсы будут иметь следующий вид:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция, выражающая получаемую прибыль:

Получаем следующую задачу линейного программирования:

Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду

Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.

Решение задачи симплекс-методом

Заполняем симплексную таблицу:

Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.

Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:

ведущий столбец соответствует

Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 9.

Теперь приступаем к составлению 1-й итерации: Вместо единичного вектора вводим вектор .

В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.

Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует

Разрешающим элементов является число 4/3. Вектор выводим из базиса и вводим вместо него вектор . Получаем таблицу 2-й итерации.

Ключевой столбец для 2-й итерации соответствует

Находим ключевую строку, для этого определяем:

Разрешающим элементов является число 10/3. Вектор выводим из базиса и вводим вместо него вектор . Получаем таблицу 3-й итерации.

№

БП

c Б

A o

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

Симплексные

2

5

4

0

0

0

отношения

0

x 4

0

96

1

9

3

1

0

0

32/3

x 5

0

640

20

10

30

0

1

0

64

x 6

0

44

1

2

2

0

0

1

22

F j - c j

0

-2

-5

-4

0

0

0

1

x 2

5

32/3

1/9

1

1/3

1/9

0

0

32

x 5

0

1600/3

170/9

0

80/3

-10/9

1

0

20

x 6

0

68/3

7/9

0

4/3

-2/9

0

1

17

F j - c j

160/3

-13/9

0

-7/3

5/9

0

0

2

x 2

5

5

-1/12

1

0

1/6

0

-1/4

--

x 5

0

80

10/3

0

0

10/3

1

-20

24

x 3

4

17

7/12

0

1

-1/6

0

3/4

204/7

F j - c j

93

-1/12

0

0

1/6

0

7/4

3

x 2

5

7

0

1

0

1/4

1/40

-3/4

x 1

2

24

1

0

0

1

3/10

-6

x 3

4

3

0

0

1

-3/4

-7/40

17/4

F j - c j

95

0

0

0

1/4

1/40

5/4

В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получен следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Необходимо шить 24 рубашки 1-го вида, 7 рубашек 2-го вида и 3 рубашки 3-го вида. При этом получаемая прибыль будет максимальна и составит 95 руб.

Помощь в решении ваших задач по этому предмету вы можете найти, отправив сообщение в ВКонтакте , на Viber или заполнив форму . Стоимость решения домашней работы начинается от 7 бел.руб. за задачу (200 рос.руб.), но не менее 10 бел.руб. (300 рос.руб.) за весь заказ. Подробное оформление. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 30 бел.руб. (1000 рос.руб.) за решение билета.

+

-

x 1

+

x 2

-

S 1

=

1

x 1

3

x 2

+

S 2

=

15

-

2

x 1

+

x 2

+

S 3

=

4

Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными. (см. систему ниже)

Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции).
Очевидно, количество всевозможных базисов для любой задачи число конечное (и не очень большое).
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (сравните сами). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент. Это необходимо для того, чтобы получить значение функции, как минимум, не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался положительным.
Выбрана строка.
Следовательно, определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.

+

-

x 1

+

x 2

-

S 1

+

R 1

=

1

x 1

3

x 2

+

S 2

=

15

-

2

x 1

+

x 2

+

S 3

=

4

x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1

=> W = 1

Шаг №1

x 1	x 2	S 1	S 2	S 3	R 1	св. член	Θ
-1	1	-1	0	0	1	1	1: 1 = 1
1	3	0	1	0	0	15	15: 3 = 5
-2	1	0	0	1	0	4	4: 1 = 4
1	-1	1	0	0	0	W - 1
-1	1	-1	0	0	1	1
4	0	3	1	0	-3	12
-1	0	1	0	1	-1	3
0	0	0	0	0	1	W - 0

+

-

x 1

+

x 2

-

S 1

=

1

4

x 1

3

S 1

+

S 2

=

12

-

x 1

+

S 1

+

S 3

=

3

Шаг №1

x 1	x 2	S 1	S 2	S 3	св. член	Θ
-1	1	-1	0	0	1
4	0	3	1	0	12	12: 4 = 3
-1	0	1	0	1	3
4	0	1	0	0	F - 1
-1	1	-1	0	0	1
1	0	3/4	1/4	0	3
-1	0	1	0	1	3
4	0	1	0	0	F - 1
0	1	-1/4	1/4	0	4
1	0	3/4	1/4	0	3
0	0	7/4	1/4	1	6
0	0	-2	-1	0	F - 13

S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6

=> F - 13 = 0 => F = 13

Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F.

При графическом методе решения задач ЛП мы фактически из множества вершин, принадлежащих границе множества решений системы неравенств, выбрали такую вершину, в которой значение целевой функции достигало максимума (минимума). В случае двух переменных этот метод совершенно нагляден и позволяет быстро находить решение задачи.

Если в задаче три и более переменных, а в реальных экономических задачах как раз такая ситуация, трудно представить наглядно область решений системы ограничений. Такие задачи решаются с помощью симплекс-метода или методом последовательных улучшений. Идея метода проста и заключается в следующем.

По определенному правилу находится первоначальный опорный план (некоторая вершина области ограничений). Проверяется, является ли план оптимальным. Если да, то задача решена. Если нет, то переходим к другому улучшенному плану - к другой вершине. значение целевой функции на этом плане (в этой вершине) заведомо лучше, чем в предыдущей. Алгоритм перехода осуществляется с помощью некоторого вычислительного шага, который удобно записывать в виде таблиц, называемых симплекс-таблицами . Так как вершин конечное число, то за конечное число шагов мы приходим к оптимальному решению.

Рассмотрим симплексный метод на конкретном примере задачи о составлении плана.

Еще раз заметим, что симплекс-метод применим для решения канонических задач ЛП, приведенных к специальному виду, т. е. имеющих базис, положительные правые части и целевую функцию, выраженную через небазисные переменные. Если задача не приведена к специальному виду, то нужны дополнительные шаги, о которых мы поговорим позже.

Рассмотрим задачу о плане производства, предварительно построив модель и приведя ее к специальному виду.

Задача.

Для изготовления изделий А и В склад может отпустить сырья не более 80 единиц. Причем на изготовление изделия А расходуется две единицы, а изделия В - одна единица сырья. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если изделий А требуется изготовить не более 50 шт., а изделий В - не более 40 шт. Причем, прибыль от реализации одного изделия А - 5 руб., а от В - 3 руб.

Построим математическую модель, обозначив за х 1 количество изделий А в плане, за х 2 - количество изделий В . тогда система ограничений будет выглядеть следующим образом:

Приведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные переменные:

(3.10)

F = -5x 1 - 3x 2 → min.

Эта задача имеет специальный вид (с базисом, правые части неотрицательны). Ее можно решить симплекс-методом.

I этап. Запись задачи в симплекс-таблицу. Между системой ограничений задачи (3.10) и симплекс-таблицей взаимно-однозначное соответствие. Строчек в таблице столько, сколько равенств в системе ограничений, а столбцов - столько, сколько свободных переменных. Базисные переменные заполняют первый столбец, свободные - верхнюю строку таблицы. Нижняя строка называется индексной, в ней записываются коэффициенты при переменных в целевой функции. В правом нижнем углу первоначально записывается 0, если в функции нет свободного члена; если есть, то записываем его с противоположным знаком. На этом месте (в правом нижнем углу) будет значение целевой функции, которое при переходе от одной таблицы к другой должно увеличиваться по модулю. Итак, нашей системе ограничений соответствует таблица 3.4, и можно переходить ко II этапу решения.

Таблица 3.4

базисные			свободные

II этап . Проверка опорного плана на оптимальность.

Данной таблице 3.4 соответствует следующий опорный план:

(х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5) = (0, 0, 50, 40, 80).

Свободные переменные х 1 , х 2 равны 0; х 1 = 0, х 2 = 0. А базисные переменные х 3 , х 4 , х 5 принимают значения х 3 = 50, х 4 = 40, х 5 = 80 - из столбца свободных членов. Значение целевой функции:

-F = - 5х 1 - 3х 2 = -5 · 0 - 3 · 0 = 0.

Наша задача - проверить, является ли данный опорный план оптимальным. для этого необходимо просмотреть индексную строку - строку целевой функции F .

Возможны различные ситуации.

1. В индексной F -строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи. Целевая функция достигла своего оптимального значения, равного числу, стоящему в правом нижнем углу, взятому с противоположным знаком. Переходим к IV этапу.

2. В индексной строке есть хотя бы один отрицательный элемент, в столбце которого нет положительных. Тогда делаем вывод о том, что целевая функция F →∞ неограниченно убывает.

3. В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда переходим к следующему III этапу. пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.

III этап . Улучшение опорного плана.

Из отрицательных элементов индексной F -строки выберем наибольший по модулю, назовем соответствующий ему столбец разрешающим и пометим "".

Чтобы выбрать разрешающую строку, необходимо вычислить отношения элементов столбца свободных членов только к положительным элементам разрешающего столбца. Выбрать из полученных отношений минимальное. Соответствующий элемент, на котором достигается минимум, называется разрешающим. Будем выделять его квадратом.

В нашем примере, , элемент 2 - разрешающий. Строка, соответствующая этому элементу, тоже называется разрешающей (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Выбрав разрешающий элемент, делаем перечет таблицы по правилам:

1. В новой таблице таких же размеров, что и ранее, переменные разрешающей строки и столбца меняются местами, что соответствует переходу к новому базису. В нашем примере: х 1 входит в базис, вместо х 5 , которая выходит из базиса и теперь свободная (табл. 3.6).

Таблица 3.6

базисные			свободные

2. На месте разрешающего элемента 2 записываем обратное ему число .

3. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.

4. Элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и записываем с противоположным знаком.

5. Чтобы заполнить оставшиеся элементы таблицы 3.6, осуществляем пересчет по правилу прямоугольника. Пусть мы хотим посчитать элемент, стоящий на месте 50.

Соединяем этот элемент мысленно с разрешающим, находим произведение, вычитаем произведение элементов, находящихся на другой диагонали получившегося прямоугольника. Разность делим на разрешающий элемент.

Итак, . Записываем 10 на место, где было 50. Аналогично:

, , , .

Таблица 3.7

Имеем новую таблицу 3.7, базисными переменными теперь являются переменные {x 3 ,x 4 ,x 1 }. Значение целевой функции стало равно -200, т. е. уменьшилось. Чтобы проверить данное базисное решение на оптимальность надо перейти опять ко II этапу. Процесс, очевидно, конечен, критерием остановки являются пункт 1 и 2 II этапа.

Доведем решение задачи до конца. Для этого проверим индексную строку и, увидев в ней отрицательный элемент , назовем соответствующий ему столбец разрешающим и, согласно III этапу, пересчитаем таблицу. Составив отношения и выбрав среди них минимальное = 40, определили разрешающий элемент 1. теперь пересчет осуществляем согласно правилам 2-5.

Таблица 3.8

базисные			свободные
	х 3 = 30, х 2 = 40, х 1 = 20. Свободные переменные равны 0, х 5 = 0, х 4 = 0. Целевая функция принимает значение последнего элемента столбца свободных членов с противоположным знаком: -F = -220 F = 220, в нашем примере функция исследовалась на min, и первоначально F max, поэтому фактически знак поменялся дважды. Итак, х * = (20, 40, 30, 0, 0), F * = 220. Ответ к задаче: Необходимо в план выпуска включить 20 изделий типа А , 40 изделий типа В, при этом прибыль будет максимальной и будет равна 220 руб. В конце этого параграфа приведем блок-схему алгоритма симплекс-метода, которая в точности повторяет этапы, но, возможно, для некоторых читателей будет более удобна в пользовании, т. к. стрелочки указывают четкую направленность действий. Ссылки над прямоугольниками в блок-схеме показывают, к какому этапу или подпункту относится соответствующая группа преобразований. правило нахождения первоначального опорного плана будет сформулировано в пункте 3.7. Вопросы для самоконтроля 1. Как строится симплекс-таблица? 2. Как отражается смена базиса в таблице? 3. Сформулируйте критерий остановки симплекс-метода. 4. Как организовать пересчет таблицы? 5. С какой строки удобно начинать пересчет таблицы?

. Алгоритм симплекс-метода

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функциюк следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

				Оценочные отношения

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

«х3 »: .

Аналогично преобразуются значения других клеток:

«х3 х1 »: ;

«х4 »: ;

«х4 х1 »: ;

«х6 »: ;

«х6 х1 »: ;

«»: ;

«х1 »: .

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

				Оценочные отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):

Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.6

Симплекс-таблица II итерации

				Оценочные отношения
				3/1=3 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.

III итерация

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.7

Симплекс-таблица III итерации

				Оценочные отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.8

Симплекс-таблица III итерации

				Оценочные отношения
				5/5=1 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.

IV итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.9

Симплекс-таблица IV итерации

				Оценочные отношения
			–(–3/5)=3/5
			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.

Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.