Составьте таблицу истинности для вычисления логического выражения. Прочие логические функции

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Таблицы истинности для основных функций

Порядок выполнения логических операций

Составить таблицу истинности онлайн

Обозначения

Задача анализа логических схем

Продолжаем искать булеву функцию логической схемы вместе

Задача синтеза логических схем в булевом базисе

Определение 1

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Определение 2

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Определение 3

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Рисунок 1.

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Рисунок 2.

Пример 1

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Количество переменных – $3$.

инверсия ($\bar{A}$);
дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B \vee C$);
дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.

Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

Рисунок 3.

Пример 2

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

отрицание ($\bar{C}$);
дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$);
отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$);
дизъюнкция ($A \vee C$);
конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$);
дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций , а именно:

действия в скобках,
инверсия (отрицание ),
& (конъюнкция ),
v (дизъюнкция ),
=> (импликация ),
<=> (эквивалентность ).

Алгоритм составления таблицы истинности :

1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2 n , где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).

2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).

3. Установить последовательность выполнения логических операций.

4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.

6. Записать ответ.

Пример 6

Построим таблицу истинности для выражения F =(Av B )&(¬ A v ¬ B ) .

1. Количество строк=2 2 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5.

2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v ,&, ¬ , v , ¬ ) = 7.

3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 43

(A v B ) & (¬ A v ¬ B )

4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:

6. Ответ: F =0, при A= B=0 и A= B=1

Пример 7

Построим таблицу истинности для логического выражения F = X v Y & ¬ Z .

1. Количество строк=2 3 +1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9.

2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6.

3. Укажем порядок действий: 3 2 1

X v Y & ¬ Z

4-5. Построи м таблицу и заполним ее по столбцам:

			¬ Z	Y& ¬ Z	Xv Y & ¬ Z
0	0	0			0
0	0	1			0

6. Ответ:
F =0, при X= Y= Z= 0; при X= Y=0 и Z= 1.

Упражнение 8

Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1. F =(Av B )&(¬ A& ¬ B).

2. F = X&¬ Yv Z.

Проверьте себя (эталон ответов)

Обратите внимание!

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:

А) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

Б) разделить колонкузначенийвторой переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;

В) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Тавтология - тождественно истинная формула истина " ("1

Противоречие - тождественно ложная формула , или формула принимающая значение "ложь " ("0 ") при любых входящих в нее значениях переменных.

Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных. Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .

Таблица истинности - это таблица, которая описывает логическую функцию. Логическая функция здесь - это функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают истинность. Например, они принимают значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Количество всех существующих комбинаций в таблице находится по формуле N=2*n; где N - общее количество возможных комбинаций, n - число входных переменных. Таблицы истинности нередко используются в цифровой технике и булевой алгебре, чтобы описать работу логических схем.

Примеры : конъюнкция - 1&0=0, импликация - 1→0=0.

Инверсия; Конъюнкция; Дизъюнкция; Импликация; Эквиваленция; Штрих Шеффера; Стрелка Пирса.

Последовательность построения (составления) таблицы истинности:

Определить количество N используемых переменных в логическом выражении.
Вычислить количество всевозможных наборов значений переменных M = 2 N , равное количеству строк в таблице.
Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество логических операций.
Озаглавить столбцы таблицы названиями переменных и названиями логических операций.
Заполнить столбцы логических переменных наборами значений, например, от 0000 до 1111 с шагом 0001 в случае для четырех переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам со значениями промежуточных операций слева направо.
Заполнить окончательный столбец значений для функции F.

Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно.

Заполните поле ввода и нажмите OK. T - истина, F - ложь. Рекомендуем добавить страницу в закладки или сохранить в социальной сети.

Множества или выражения большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D...
A" - штрих - дополнения множеств
&& - конъюнкция ("и")
|| - дизъюнкция ("или")
! - отрицание (например, !A)
\cap - пересечение множеств \cap
\cup - объединение множеств (сложение) \cup
A&!B - разность множеств A∖B=A-B
A=>B - импликация "Если..., то"
AB - эквивалентность

Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции.

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:

1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация и эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Предлагается следующий алгоритм построения таблицы истинности .

1. Определить количество наборов входных переменных - всевозможных сочетаний значений переменных, входящих в выражения, по формуле: Q=2 n , где n - количество входных переменных. Оно определяет количество строк таблицы.
2. Внести в таблицу все наборы входных переменных.
3. Определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
4. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности.

Чтобы не повторить или не пропустить ни одного возможного сочетания значений входных переменных, следует пользоваться одним из предлагаемых ниже способов заполнения таблицы.

Способ 1. Каждый набор значений исходных переменных есть код числа в двоичной системе счисления, причем количество разрядов числа равно количеству входных переменных. Первый набор - число 0. Прибавляя к текущему числу каждый раз по 1, получаем очередной набор. Последний набор - максимальное значение двоичного числа для данной длины кода.

Например, для функции от трех переменных последовательность наборов состоит из чисел:

Способ 2. Для функции от трех переменных последовательность данных можно получить следующим путем:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю половину нулями, нижнюю половину единицами;
б) в следующей колонке для второй переменной половинку снова разделить пополам и заполнить группами нулей и единиц; аналогично заполнить вторую половинку;
в) так делать до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Способ 3. Воспользоваться известной таблицей истинности для двух аргументов. Добавляя третий аргумент, сначала записать первые 4 строки таблицы, сочетая их со значением третьего аргумента, равным 0, а затем еще раз записать эти же 4 строки, но теперь уже со значением третьего аргумента, равным 1. В результате в таблице для трех аргументов окажется 8 строк:

Например, построим таблицу истинности для логической функции:

Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (A,B,C) . Значит, количество входных наборов Q=2 3 =8 .

Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C , промежуточных результатов и (B V C ), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения:

0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 1 0
7.4. Логические функции и их преобразования. Законы логики

Для операций конъюнкции, дизъюнкции и инверсии определены законы булевой алгебры, позволяющие производить тождественные (равносильные) преобразования логических выражений .

Законы логики

1. ¬¬ А
2. A&B
3. AVB
4. A&(B&C)
5. AV(BVC)
6. A&(BVC)
7. AV(B&C)
8. A&A
9. AVA
10. AV¬A
11. A&¬A
12. A&И
13. AVИ
14. A&Л
15. AVЛ
16. ¬(A&B)
17. ¬(AVB)
18. A => B

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Пример 1. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение

Пример 2. Минимизировать функцию

При упрощении выражения использовались формулы поглощения и склеивания.

Пример 3. Найти отрицание следующего высказывания: "Если урок будет интересным, то никто из учеников (Миша, Вика, Света) не будет смотреть в окно".

Решение

Обозначим высказывания:

Y - "Урок интересный";

M - "Миша смотрит в окно";

B - "Вика смотрит в окно";

C - "Света смотрит в окно".

При упрощении выражения использовались формула замены операций и закон де Моргана.

Пример 4. Определить участника преступления, исходя из двух посылок: логический компьютер таблица

1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";
2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".

Решение

Составим выражения:

I - "Иванов участвовал в преступлении";

P - "Петров участвовал в преступлении";

S - "Сидоров участвовал в преступлении".

Запишем посылки в виде формул:

Проверим результат, используя таблицу истинности:

Ответ: Иванов участвовал в преступлении.

Построение логической функции по ее таблице истинности

Мы научились составлять таблицу истинности для логической функции. Попробуем решить обратную задачу.

Рассмотрим строки, где значение истинности функции Z истинно (Z=1). Функцию для этой таблицы истинности можно составить следующим образом: Z(X,Y) = (¬ X& ¬Y)V(X& ¬Y).

Каждой строке, где функция истинна (равна 1), соответствует скобка, представляющая собой конъюнкцию аргументов, причем если значение аргумента О, то мы берем его с отрицанием. Все скобки соединены между собой операцией дизъюнкции. Полученную формулу можно упростить, применив законы логики:

Z(X,Y) <=> ((¬X& ¬Y) VX)&((¬X&Y)V ¬Y) <=> (XV(¬X& ¬Y)) &(¬YV(¬X&¬Y)) <=> ((XV¬X)&(XV ¬Y))&((Y¬V ¬X)&(¬YV ¬Y)) <=> (1&(XV ¬Y))&((¬YV ¬X)& ¬Y)<=> (XV ¬Y)&((¬YV ¬X)& ¬Y).

Проверьте полученную формулу: составьте таблицу истинности для функции Z(X,Y).

Запишите правила конструирования логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.
2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.
4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент мы берем с отрицанием.

В цифровой схемотехнике цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать два значения, рассматриваемые как логическая "1" и логический "0".

Логические схемы могут содержать до 100 миллионов входов и такие гигантские схемы существуют. Представьте себе, что булева функция (уравнение) такой схемы была потеряна. Как восстановить её с наименьшими потерями времени и без ошибок? Наиболее продуктивный способ - разбить схему на ярусы. При таком способе записывается выходная функция каждого элемента в предыдущем ярусе и подставляется на соответствующий вход на следующем ярусе. Этот способ анализа логических схем со всеми нюансами мы сегодня и рассмотрим.

Логические схемы реализуются на логических элементах: "НЕ", "И", "ИЛИ", "И-НЕ", "ИЛИ-НЕ", "Исключающее ИЛИ" и "Эквивалентность". Первые три логических элемента позволяют реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию в булевом базисе . Мы будем решать задачи на логические схемы, реализованные именно в булевом базисе.

Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах (для увеличения можно нажать на рисунок левой кнопкой мыши).

На этом уроке будем решать задачи на логические схемы, на которых логические элементы обозначены в стандарте ГОСТ.

Задачи на логические схемы бывают двух видов: задача синтеза логических схемы и задачи анализа логических схем. Мы начнём с задачи второго типа, так как в таком порядке удаётся быстрее научиться читать логические схемы.

Чаще всего в связи с построением логических схем рассматриваются функции алгебры логики:

трёх переменных (будут рассмотрены в задачах анализа и в одной задаче синтеза);
четырёх переменных (в задачах синтеза, то есть в двух последних параграфах).

Рассмотрим построение (синтез) логических схем

в булевом базисе "И", "ИЛИ", "НЕ" (в предпоследнем параграфе);
в также распространённых базисах "И-НЕ" и "ИЛИ-НЕ" (в последнем параграфе).

Задача анализа заключается в определении функции f , реализуемой заданной логической схемой. При решении такой задачи удобно придерживаться следующей последовательности действий.

Логическая схема разбивается на ярусы. Ярусам присваиваются последовательные номера.
Выводы каждого логического элемента обозначаются названием искомой функции, снабжённым цифровым индексом, где первая цифра - номер яруса, а остальные цифры - порядковый номер элемента в ярусе.
Для каждого элемента записывается аналитическое выражение, связывающее его выходную функцию с входными переменными. Выражение определяется логической функцией, реализуемой данным логическим элементом.
Производится подстановка одних выходных функций через другие, пока не получится булева функция, выраженная через входные переменные.

Пример 1.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы, что уже показано на рисунке. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

x , y , z :

x	y	z					f
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Пример 2. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Пример 3. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Пример 4. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :

В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:

Таблица истинности для данной логической схемы:

x	y	z			f
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Пример 5. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Структура данной логической схемы, в отличие от предыдущих примеров, имеет 5 ярусов, а не 4. Но одна входная переменная - самая нижняя - пробегает все ярусы и напрямую входит в логический элемент в первом ярусе. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :

В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:

Таблица истинности для данной логической схемы:

x	y	z			f
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

(A v B )&(¬ A v ¬ B )

Разработка логической схемы по её аналитическому описанию имеет название задачи синтеза логической схемы.

Каждой дизъюнкции (логической сумме) соответствует элемент "ИЛИ", число входов которого определяется количеством переменных в дизъюнкции. Каждой конъюнкции (логическому произведению) соответствует элемент "И", число входов которого определяется количеством переменных в конъюнкции. Каждому отрицанию (инверсии) соответствует элемент "НЕ".

Часто разработка логической схемы начинается с определения логической функции, которую должна реализовать логическая схемы. В этом случае дана только таблица истинности логической схемы. Мы разберём именно такой пример, то есть, решим задачу, полностью обратную рассмотренной выше задаче анализа логических схем.

Пример 6. Построить логическую схему, реализующую функцию с данной таблицей истинности.