Рассмотрим пример задачи линейного программирования.
Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 1.
| Ресурс | Прод1 | Прод2 | Прод3 | Прод4 | Знак | Наличие |
| Прибыль | ||||||
| Трудовые | ||||||
| Сырье | ||||||
| Финансы |
Рисунок 1.
Математическая модель задачи имеет вид:
где x j – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – функция цели; в левых частях выражений ограничений указаны величины потребного ресурса , а правые части показывают количество имеющегося ресурса .
Ввод условий задачи
Для решения задачи с помощью Excel следует создать форму для ввода исходных данных и ввести их. Форма ввода показана на рис. 2.
В ячейку F6 введено выражение целевой функции как суммы произведений значений прибыли от выпуска единицы продукции каждого типа на количество выпускаемой продукции соответствующего типа. Для наглядности на рис. 3 представлена форма ввода исходных данных в режиме вывода формул.
В ячейки F8:F10 введены левые части ограничений для ресурсов каждого вида.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Решение задачи линейного программирования
Для решения задач линейного программирования в Excel используется мощный инструмент, называемый Поиск решения . Обращение к Поиску решения осуществляется из меню Сервис , на экран выводится диалоговое окно Поиска решения (рис. 4).
Рисунок 4.
Ввод условий задачи для поиска ее решения состоит из следующих шагов:
1 Назначить целевую функцию, для чего установить курсор в поле Установить целевую ячейку окна Поиск решения и щелкнуть в ячейке F6 в форме ввода;
2 Включить переключатель значения целевой функции, т.е. указать ее Равной Максимальному значению ;
3 Ввести адреса изменяемых переменных (x j): для этого установить курсор в поле Изменяя ячейки окна Поиск решения, а затем выделить диапазон ячеек B3:E3 в форме ввода;
4 Нажать кнопку Добавить окна Поиск решения для ввода ограничений задачи линейного программирования; на экран выводится окно Добавление ограничения (рис. 5) :
Ввести граничные условия для переменных x j (x j ³0), для этого в поле Ссылка на ячейку указать ячейку В3, соответствующую х 1 , выбрать из списка нужный знак (³), в поле Ограничение указать ячейку формы ввода, в которой хранится соответствующее значение граничного условия, (ячейка В4), нажать кнопку Добавить ; повторить описанные действия для переменных х 2 , х 3 и х 4 ;
Ввести ограничения для каждого вида ресурса, для этого в поле Ссылка на ячейку окна Добавление ограничения указать ячейку F9 формы ввода, в которой содержится выражение левой части ограничения, наложенного на трудовые ресурсы, в полях Ограничение указать знак £ и адрес Н9 правой части ограничения, нажать кнопку Добавить ; аналогично ввести ограничения на остальные виды ресурсов;
После ввода последнего ограничения вместо Добавить нажать ОК и возвратиться в окно Поиск решения.
Рисунок 5.
Решение задачи линейного программирования начинается с установки параметров поиска:
В окне Поиск решения нажать кнопку Параметры , на экран выводится окно Параметры поиска решения (рис. 6);
Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода;
Указать предельное число итераций (по умолчанию – 100, что подходит для решения большинства задач);
Установить флажок , если необходимо просмотреть все этапы поиска оптимального решения;
Нажать ОК , возврат в окно Поиск решения .
Рисунок 6.
Для решения задачи нажать кнопку Выполнить в окне Поиск решения , на экране – окно Результаты поиска решения (рис. 7), в котором содержится сообщение Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Если условия задачи несовместны, то выводится сообщение Поиск не может найти подходящего решения . Если целевая функция не ограничена, то появляется сообщение Значения целевой ячейки не сходятся .
Рисунок 7.
Для рассматриваемого примера решение найдено и результат оптимального решения задачи выводится в форме ввода: значение целевой функции, соответствующее максимальной прибыли и равное 1320, указывается в ячейке F6 формы ввода, оптимальный план выпуска продукции х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 указывается в ячейках В3:С3 формы ввода (рис. 8).
Количество использованных для выпуска продукции ресурсов выводится в ячейки F9:F11: трудовых – 16, сырья – 84, финансов – 100.
Рисунок 8.
Если при установке параметров в окне Параметры поиска решения (рис. 6) был установлен флажок Показывать результаты итераций , то будут показаны последовательно все шаги поиска. На экран будет выводиться окно (рис. 9). При этом текущие значения переменных и функции цели будут показаны в форме ввода. Так, результаты первой итерации поиска решения исходной задачи представлены в форме ввода на рисунке 10 .
Рисунок 9.
Рисунок 10.
Чтобы продолжить поиск решения, следует нажимать кнопку Продолжить в окне Текущее состояние поиска решения .
Анализ оптимального решения
Прежде чем, перейти к анализу результатов решения, представим исходную задачу в форме
введя дополнительные переменные у i , представляющие собой величины неиспользованных ресурсов.
Составим для исходной задачи двойственную задачу и введем дополнительные двойственные переменные v i .
Анализ результатов поиска решения позволит увязать их с переменными исходной и двойственной задач.
С помощью окна Результаты поиска решения можно вызвать отчеты трех типов, позволяющие анализировать найденное оптимальное решение:
Результаты,
Устойчивость,
Пределы.
Для вызова отчета в поле Тип отчета выделить название нужного типа и нажать ОК .
1 Отчет по результатам (рис. 11) состоит из трех таблиц:
Таблица 1 содержит сведения о целевой функции; в столбце Исходно указывается значение целевой функции до начала вычислений;
Таблица 2 содержит значения искомых переменных x j , полученных в результате решения задачи (оптимальный план выпуска продукции);
Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.
Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены при задании ограничений в окне Поиск решения ; в графе Значение указаны величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние выводится сообщение связанное ; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной x j в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (x j ³0).
Именно в графе Разница можно увидеть значения дополнительных переменных y i исходной задачи в формулировке (2). Здесь у 1 =у 3 =0, т.е. величины неиспользованных трудовых и финансовых ресурсов равны нулю. Эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем, величина неиспользованных ресурсов для сырья у 2 =26, значит, имеются излишки сырья.
Рисунок 11.
2 Отчет по устойчивости (рис. 12)состоит из двух таблиц.
В таблице 1 приводятся следующие значения:
Результат решения задачи (оптимальный план выпуска);
- Нормир. стоимость , т.е. величины, показывающие, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы продукции соответствующего типа в оптимальный план;
Коэффициенты целевой функции;
Предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется оптимальный план выпуска.
В таблице 2 содержатся аналогичные данные для ограничений:
Величины использованных ресурсов;
- Теневая цена , показывающая, как изменится целевая функция при изменении величины соответствующего ресурса на единицу;
Допустимые значения приращений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный план выпуска продукции.
Рисунок 12.
Отчет по устойчивости позволяет позволяет получить двойственные оценки.
Как известно, двойственные переменные z i показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурса i-го типа на единицу. В отчете Excel двойственная оценка называется Теневой ценой .
В нашем примере сырье не используется полностью и его ресурс у 2 =26. Очевидно, что увеличение количества сырья, например, до 111 не повлечет за собой увеличения целевой функции. Следовательно, для второго ограничения двойственная переменная z 2 =0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю.
В рассматриваемом примере трудовые ресурсы и финансы использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (у 1 =у 3 =0). Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и следовательно, на величину целевой функции. Двойственные оценки ограничений на трудовые и финансовые ресурсы отличны от нуля, т.е. z 1 =20, z 3 =10.
Значения двойственных оценок находим в Отчете по устойчивости , в таблице 2, в графе Теневая цена .
При увеличении (уменьшении) трудовых ресурсов на единицу целевая функция увеличится (уменьшится) на 20 единиц и будет равна
F=1320+20×1=1340 (при увеличении).
Аналогично, при увеличении объема финансов на единицу целевая функция будет
F=1320+10×1=1330.
Здесь же, в графах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение таблицы 2, показаны допустимые пределы изменения количества ресурсов j-го вида. Например, для при изменении приращения величины трудовых ресурсов в пределах от –6 до 3,55, как показано в таблице, структура оптимального решения сохраняется, т.е наибольшую прибыль обеспечивает выпуск Прод1 и Прод3, но в других количествах.
Дополнительные двойственные переменные также отражены в Отчете по устойчивости в графе Нормир. стоимость таблицы 1.
Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х 2 =х 4 =0), то соответствующие им дополнительные переменные имеют положительные значения (v 2 =10, v 4 =20). Если же основные переменные вошли в оптимальное решение (х 1 =10, х 3 =6), то их дополнительные двойственные переменные равны нулю (v 1 =0, v 3 =0).
Эти величины показывают, насколько уменьшится (поэтому знак минус в значениях переменных v 2 и v 4) целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции вида Прод3, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320 -10×1 =1310.
Обозначим через Dс j изменение коэффициентов целевой функции в исходной модели (1). Эти коэффициенты определяют прибыль, получаемую при реализации единицы продукции j-го вида.
В графах Допустимое увеличение и Допустимое Уменьшение таблицы 1 Отчета по устойчивости показаны пределы изменения Dс j , при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию вида Продj. Например, при изменении Dс 1 в пределах -12£ Dс 1 £ 40, как показано в отчете, по-прежнему будет выгодно выпускать продукцию вида Прод1. При этом значение целевой функции будет F=1320+x 1 ×Dс j =1320+10×Dс j .
3 Отчет по пределам приведен на рис. 13. В нем показывается, в каких пределах могут изменяться значения x j , вошедшие в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Кроме этого, для каждого типа продукции приводятся значения целевой функции, получаемые при подстановке в оптимальное решение значения нижнего предела выпуска изделий соответствующего типа при неизменных значениях выпуска остальных типов. Например, если при оптимальном решении х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 положить х 1 =0 (нижний предел) при неизменных х 2 , х 3 и х 4 , то значение целевой функции будет равно 60×0+70×0+120×6+130×0=720.
Нижегородский Государственный Технический Университет
Павловский филиал
Курсовая работа
по информатике на тему:
“Технология решения задач линейного программирования с помощью Поиска решений приложения Excel” .
Выполнила : Бородулина Д.А.
Группа 05-АМ.
Проверила : Ловыгина М.Б.
Павлово 2006 г.
Введение……………………………………………………………………………стр. 3
Решение задач с помощью надстройки Поиск решения
- Установка программы Поиск решения…………………………………………..…стр.4
- Диалоговое окно Поиск решения…………………………………………………..…стр.4
- Ввод и редактирование ограничений………………………………………………..стр.5
- Настройка параметров алгоритма и программы……………………………….стр.6
- Сохранение модели оптимизации…………………………………………………....стр.9
- Загрузка модели оптимизации……………………………………………………….стр.9
Вычисления и результаты решения задачи………………………………..стр. 10
Просмотр промежуточных результатов поиска решения…………...стр.11
Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения…...стр.12
Итоговые сообщения процедуры поиска решения……………………....стр.13
Примеры выполнения задач
- Пример № 1………………………………………………………………………………стр.15
- Пример № 2 (графическим способом)……………………………………………...стр..20
Вывод……………………………………………………………………………....стр.24
Список литературы…………………………………………………………....стр.25
Введение
Линейная оптимизация – это раздел математического программирования, посвящённый нахождению экстремума линейных функций нескольких переменных при дополнительных линейных ограничениях, которые налагаются на переменные. Методы, с помощью которых решаются задачи, подразделяются на универсальные (например, симплексный метод) и специальные. С помощью универсальных методов решаются любые задачи линейного программирования. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.
Использование электронных таблиц широко распространено для решения многочисленных и разнообразных задач, связанных с учётом и контролем результатов управленческой деятельности: торгово-закупочных операций, производственных планов, бухучёта и т. п. Вместе с тем форма электронной таблицы оказывается очень удобной при решении многих аналитических задач управления деятельностью, и в частности задач исследования операций и поиска оптимальных решений.
В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).
Такие задачи в Excel решают с помощью Поиска решения .
Процедура Поиск решения представляет собой мощный инструмент для выполнения сложных вычислений. Она позволяет находить значения переменных, удовлетворяющих указанным критериям оптимальности, при условии выполнения заданных ограничений.
Решение задач с помощью надстройки Поиск решения
1. Установка программы Поиск решения
В меню Сервис выберите команду Надстройки.
В диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения. Если диалоговое окно Надстройки не содержит команды Поиск решения , нажмите кнопку Обзор и укажите диск и папку, в которой содержится файл надстройки Solver. xla (как правило, это папка Library\ Solver folder) или запустите программу Setup , если найти файл не удаётся.
Надстройка, указанная в диалоговом окне Надстройки , остаётся активной до тех пор, пока она не будет удалена.
2. Диалоговое окно Поиск решения
Окно Поиск решения (рис. 1) вызывается командой меню Сервис>Поиск решения.
Поле Установить целевую ячейку служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу.
Рис.1.Диалоговое окно Поиск решения.
Кнопка Равной служит для выбора варианта с заданным значением целевой ячейки. Чтобы установить заданное число, введите его в поле.
Поле Изменяя ячейки служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.
В поле Изменяя ячейки вводятся имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.
Поле Предположить используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.
Поля Ограничения служат для отображения списка граничных условий, налагаемые на переменные задачи. Допускаются ограничения в виде равенств, неравенств, а также – требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по одному с помощью кнопки Добавить.
Команда Изменить Изменение ограничения.
Команда Удалить служит для снятия указанного курсором ограничения.
Команда Выполнить служит для запуска поиска решения поставленной задачи.
Команда Закрыть служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить.
Кнопка Параметры служит для отображения диалогового окна Параметры поиска решения , в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.
Кнопка Восстановить служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.
3.Ввод и редактирование ограничений
Диалоговые окна изменения и добавления ограничений одинаковы, рис.2.
Выберите из раскрывающегося списка условный оператор, который необходимо разместить между ссылкой и её ограничением. Это знаки операторов: не более, не менее, равно и т. д.
В поле Ограничения введите число, формулу или имя ячейки или диапазона содержащих или вычисляющих ограничивающие значения.
Чтобы приступить к набору нового условия, нажмите кнопку Добавить.
Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку ОК.
Условные операторы целого и двоичного типа можно применять только при наложении ограничений на изменяемые ячейки.
Рис.2.Диалоговое окно Изменение ограничения.
4. Настройка параметров алгоритма и программы
Настройка параметров алгоритма и программы производится в диалоговом окне Параметры поиска решения , рис. 3.
В окне устанавливаются ограничения на время решения задач, выбираются алгоритмы, задаётся точность решения, предоставляется возможность для сохранения вариантов модели и их последующей загрузки. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.
Рис. 3. Диалоговое окно Параметры поиска решения.
Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства лабораторных работ.
Поле Предельное число итераций служит для управления временем решения задачи, путём ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.
При достижении отведённого временного интервала или при выполнении отведённого числа итераций, на экране появляется диалоговое окно
Поле Относительная погрешность служит для задания точности (допустимой погрешности), с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 (нуля) до1. Низкая точность соответствует введённому числу, содержащему меньшее количество десятичных знаков, чем число, используемое по умолчанию, например, 0,0001. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошёлся процесс оптимизации. Чем меньше введённое число, тем выше точность результатов.
Поле Допустимое отклонение служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. При указании большого допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Поле Сходимость результатов поиска решения применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость , поиск прекращается. Условием сходимости служит дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую сходимость характеризует большее количество десятичных знаков, например, 0,0001 – это меньшее относительное изменение, чем 0,01. Чем меньше его значение, тем выше точность результатов. Лучшая сходимость требует больше времени на поиск оптимального решения.
Флажок Линейная модель служит для ускорения поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи.
Флажок Неотрицательные значения позволяет установить нулевую нижнею границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение .
Флажок служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.
Флажок служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.
Кнопки Оценки служат для указания метода экстраполяции (линейная или квадратичная), используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске.
Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора.
Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая даёт лучшие результаты при решении нелинейных задач.
Кнопки Разности (производные) служат для указания метода численного дифференцирования (прямые или центральные производные), который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающихся функций.
Прямые используется для гладких непрерывных функций.
Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Не смотря на то, что данный способ требует больше вычислений, он может помочь при получении итогового сообщения о том, что процедура поиска решения не может улучшить текущий набор влияющих ячеек.
Кнопки Метод поиска служат для выбора алгоритма оптимизации (метод Ньютона или сопряжённых градиентов).
Кнопка Ньютона служит для реализации квазиньютоновского метода, в котором запрашивается больше памяти, но выполняется меньше итераций, чем в методе сопряжённых градиентов. Здесь вычисляются частные производные второго порядка.
Кнопка Сопряжённых градиентов служит для реализации метода сопряжённых градиентов, в котором запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
Для решения линейных задач используются алгоритмы симплексного метода. Для решения целочисленных задач используется метод ветвей и границ.
Команда Сохранить модель служит для отображения на экране диалогового окна Сохранить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации. Данный вариант предусмотрен для хранения на листе более одной модели оптимизации. Первая модель сохраняется автоматически.
Команда Загрузить модель служит для отображения на экране диалогового окна Загрузить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.
1. Сохранение модели оптимизации
- В меню Сервис выберите команду Поиск решения.
- Нажмите кнопку Параметры.
- Нажмите кнопку Сохранить модель. Появляется окно Сохранить модель, рис. 4.
- В поле Задайте область модели введите ссылку на верхнюю ячейку столбца, в котором хотите разместить модель оптимизации.
Рис. 4. Диалоговое окно Сохранить модель.
Значения элементов управления диалоговых окон Поиск решения и Параметры поиска решения записываются на лист. Чтобы использовать на листе несколько моделей оптимизации, нужно сохранить их в разных диапазонах (столбцах).
Предлагаемый диапазон содержит ячейку для каждого ограничения, а также ещё три ячейки. Можно также ввести ссылку только на верхнюю ячейку столбца, в котором следует сохранить модель.
Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком, недостаточно указать только первую ячейку.
Перед тем как использовать данную процедуру, необходимо сохранить хотя бы одну модель.
1 В меню Сервис выберите команду Поиск решения.
2. Нажмите кнопку Параметры.
3. Нажмите кнопку Загрузить модель. Появляется окно, аналогичное окну Сохранить модель.
Диалоговое окно Загрузить модель используется для задания ссылки на область загружаемой (ранее сохранённой) модели оптимизации. Ссылка должна адресовать область модели целиком не достаточно указать только первую ячейку.
Вычисления и результаты решения задачи
Для запуска оптимизатора нажмите кнопку Выполнить в окне Поиск решения.
Программа начинает работать, в строке сообщений (слева внизу листа) появляется сообщение Постановка задачи… Ваша таблица с моделью и параметрами алгоритма автоматически приводится к стандартам постановки задач математического программирования. Это преимущество Excel. В других пакетах Вам пришлось бы оторваться от экономической сути задачи и заниматься формальной математической постановкой задачи. После этапа постановки решается задача.
Чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC. Microsoft Excel пересчитает лист с учётом найденных значений влияющих ячеек.
По окончании счёта появляется диалоговое окно Результаты поиска решения, рис. 5.
Рис. 5. Диалоговое окно Результаты поиска решения.
Поле Тип отчёта служит для указания типа отчёта, размещаемого на отдельном листе книги.
Отчёт Результаты используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.
Отчёт Устойчивость используется для создания отчёта, содержащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели или в формулах ограничений. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. В случае нелинейных моделей отчёт содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа. В отчёт по нелинейным моделям включаются ограниченные затраты, фиктивные цены, а также диапазоны ограничений.
Отчёт Пределы используется для создания отчёта, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчёт не создаётся для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно верхним пределом называется наибольшее значение.
К сожалению, эти отчёты очень неудобны. Они перегружены плохо читаемыми абсолютными ссылками со знаками доллара. Желает лучшего и перевод с английского на русский.
Кнопка Сохранить сценарий служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария , в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев Microsoft Excel. В поле Название сценария введите имя сценария. Чтобы создать сценарий, не сохраняя найденное решение и не отображая результатов на листе, сохраните сценарий в диалоговом окне Результаты поиска решения , а затем выберите Восстановить исходные значения.
Просмотр промежуточных результатов поиска решения
Режим пошагового решения задач используется при отладке моделей.
В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры.
Чтобы получить возможность просмотра текущих значений влияющих ячеек каждой итерации, установите флажок Показывать результаты итераций, нажмите кнопку ОК, а затем кнопку Выполнить.
На экране появится диалоговое окно , рис. 6, а влияющие ячейки листа изменят свои значения.
Чтобы остановить поиск решения и вывести на экран диалоговое окно Результаты поиска решения, нажмите кнопку Стоп.
Рис.6. Диалоговое окно Текущее состояние поиска решения.
Чтобы выполнить следующую итерацию и просмотреть её результаты, нажмите кнопку Продолжить.
Возникающие проблемы и сообщения процедуры поиска решения
Оптимальное решение не найдено
Поиск решения может остановиться до достижения оптимального решения по следующим причинам.
Пользователь прервал процесс поиска.
Команда Показывать результаты итераций в диалоговом окне Параметры поиска решения выбрана перед Выполнить.
Пользователь нажал кнопку Стоп в режиме пошагового выполнения итераций, по истечении времени, отведённого на работу процедуры, или после выполнения заданного числа итераций.
Установлен флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры поиска решения, в то время как решаемая задача не линейна.
Значение, заданное в поле Установить целевую диалогового окна Поиск решения , неограниченно увеличивается или уменьшается. Необходимо уменьшить значения полей Максимальное время или Итерации в диалоговом окне Параметры поиска решения.
В случае задач, значения в которых ограничены множеством целых чисел, необходимо уменьшить значение в поле Допустимое отклонение диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит найти лучшее решение.
В случае нелинейных задач необходимо уменьшить значение в поле Сходимость диалогового окна Параметры поиска решения , что позволит продолжать поиск решения, когда значение в целевой ячейке изменяется медленно.
Если значения влияющих ячеек или значения влияющей и целевой ячеек различаются на несколько порядков, необходимо установить флажок Автоматическое масштабирование в диалоговом окне Параметры поиска решения. Внесите нужные изменения и запустите процедуру поиска решения снова.
Если найденное решение нелинейной задачи существенно отличается от ожидаемого результата, запустите процедуру поиска решения с другими начальными значениями влияющих ячеек. Если задать такие значения влияющих ячеек, которые близко расположены от экстремальной точки целевой функции, можно значительно сократить время поиска решения.
Итоговые сообщения процедуры поиска решения
1. Если поиск решения успешно завершён, в диалоговом окне Результаты поиска решения
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.
Все ограничения соблюдены с установленной точностью и найдено заданное значение целевой ячейки.
Поиск свёлся к текущему решению. Все ограничения выполнены.
Относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций стало меньше установленного значения параметра Сходимость в диалоговом окне Параметры поиска решения . Чтобы найти более точное решение, установите меньшее значение параметра Сходимость , но это займёт больше времени.
2. Если поиск не может найти оптимальное решение, в диалоговом окне Результаты поиска решения выводится одно из следующих сообщений.
Поиск не может улучшить текущее решение. Все ограничения выполнены.
В процессе поиска решения нельзя найти такой набор значений влияющих ячеек, который был бы лучше текущего решения. Приблизительное решение найдено, но либо дальнейшее уточнение невозможно, либо заданная погрешность слишком высока. Измените погрешность на меньшее число и запустите процедуру поиска решения снова.
3. Поиск остановлен (истекло заданное на поиск время).
Время, отпущенное на решение задачи, исчерпано, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления, установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .
4. Поиск остановлен (достигнуто максимальное число итераций).
Произведено разрешённое число итераций, но достичь удовлетворительного решения не удалось. Увеличение числа итераций может помочь, однако следует рассмотреть результаты, чтобы понять причины остановки. Чтобы при следующем запуске процедуры поиска решения не повторять выполненные вычисления установите переключатель Сохранить найденное решение или Сохранить сценарий .
5. Значения целевой ячейки не сходятся.
Значение целевой ячейки неограниченно увеличивается (или уменьшается), даже если все ограничения соблюдены.Возможно, следует в задаче снять одно ограничение или сразу несколько, или наложить дополнительные ограничения. Изучите процесс расхождения решения, проверьте ограничения и запустите задачу снова. Например, в задаче об оптимальных портфелях банков, если не наложить ограничение на портфель привлечения ресурсов, то банк как аферист будет занимать деньги до бесконечности.
6. Поиск не может найти подходящее решение.
В процессе поиска решения нельзя сделать итерацию, которая удовлетворяла бы всем ограничениям при заданной точности. Вероятно, ограничения противоречивы. Исследуйте лист на предмет возможных ошибок в формулах ограничений или в выборе ограничений.
7. Поиск остановлен по требованию пользователя.
Нажата кнопка Стоп в диалоговом окне Текущее состояние поиска решения после прерывания поиска решения в процессе выполнения итераций.
8. Условия для линейной модели не удовлетворяются.
Установлен флажок Линейная модель , однако итоговый пересчёт порождает такие значения, которые не согласуются с линейной моделью. Это означает, что решение недействительно для данных формул листа. Чтобы проверить линейность задачи, установите флажок Автоматическое масштабирование и повторно запустите задачу. Если это сообщение опять появится на экране, снимите флажок Линейная модель и снова запустите задачу.
9. При поиске решения обнаружено ошибочное значение в целевой ячейке или в ячейке ограничения.
При пересчёте значений ячеек обнаружена ошибка в одной формуле или в нескольких сразу. Найдите целевую ячейку или ячейку ограничения, порождающие ошибку, и измените их формулы так, чтобы они возвращали подходящее числовое значение.
Набрано неверное имя или формула в окне Добавить ограничение или окне Изменить ограничение или в поле Ограничения были заданы целое или двоичное ограничение. Чтобы ограничить значения ячейки множеством целых чисел, выберите оператор целого ограничения в списке условных операторов. Чтобы установить двоичное ограничение, выберите оператор для двоичного ограничения.
10. Мало памяти для решения задачи.
Система не смогла выделить память, необходимую для поиска решения. Закройте некоторые файлы или приложения, и попытайтесь снова выполнить процедуру поиска решения.
Примеры выполнения задач
ПРИМЕР № 1
Для изготовления четырёх видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Какое количество продукции каждого вида должно изготовляться, чтобы доход от реализации был максимальным?
1. Формулировка математической модели задачи :
· переменные для решения задачи: x 1 – суточный объём изготовления продукции А, x 2 – суточный объём изготовления продукции Б, x 3 – суточный объём изготовления продукции В, x 4 – суточный объём изготовления продукции Г;
· определение функции цели (критерия оптимизации). Суммарная суточная прибыль от изготовления всех видов продукции равна:
F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4,
поэтому цель состоит в том, чтобы среди всех допустимых значений x 1, x 2, x 3, x 4 найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от изготовления продуктов F:
· ограничения на переменные:
1. объём производства продукции не может быть отрицательным, т. е.
2. расход исходного продукта для изготовления всех видов продукции не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного продукта, т. е.
Таким образом, получаем следующую математическую модель задачи:
· Найти максимум следующей функции:
F=12* x 1 +7* x 2 +18* x 3 +10* x 4 max;
· При ограничениях вида:
1* x 1 +2* x 2 +1* x 3 +0* x 4 ≤ 18,
1* x 1 +1* x 2 +2* x 3 +1* x 4 ≤ 30,
1* x 1 +3* x 2 +3* x 3 +2* x 4 ≤ 40,
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0;
2. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений – на рабочий лист вводим необходимый текст, данные и формулы в соответствии с рис. 7. Переменные задачи x 1, x 2, x 3, x 4 находятся соответственно в C3, С4, С5, С6 . Целевая функция находится в ячейке С8 и содержит формулу:
12*C3+7*C4+18*C5+10*C6
Ограничения на задачу учтены в ячейках С10:С12.
3. Работа с надстройкой Поиск решения – воспользовавшись командой Сервис | Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой задачи (установка данных в окне Поиск решения приведена на рис. 8). Результат работы по поиску решения помещён на рис. 9 – 14.
Рис. 7. Рабочий лист MS Excel для решения задачи .
Рис. 8. Установка необходимых параметров задачи в окне Поиск решения .
Рис.9. Результаты расчёта надстройки Поиск решения.
Рис. 10. Отчёт по результатам поиска решения.
Рис. 11. Отчёт по устойчивости поиска решения.
Рис. 12. Отчёт по пределам поиска решения.
ВЫВОД : из решения видно, что оптимальный план выпуска предусматривает изготовление продукции видов "А" и "Г". А продукцию видов "Б" и "В" производить не стоит. Полученная Вами прибыль составит 326 усл. ед.
ПРИМЕР № 2
Задача распределения ресурсов
Предприятие изготавливает и продает краску двух видов: для внутренних и внешних работ. Для производства краски используется два исходных продукта A и B. Расходы продуктов A и B на 1 т. соответствующих красок и запасы этих продуктов на складе приведены в таблице:
Продажная цена за 1 тонну краски для внутренних работ составляет 2 000 рублей, краска для наружных работ продается по 1 000 рублей за 1 тонну. Требуется определить какое количество краски каждого вида следует производить предприятию, чтобы получить максимальный доход.
Рассмотрим поэтапное решение этой задачи графическим способом с использованием процедуры « Поиск решения » Excel.
I. Составление математической модели задачи.
1) Переменные задачи.
Обозначим: x 1 - количество производимой краски для
внутренних работ;
x 2 - соответствующее количество краски
для наружных работ.
2) Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:
по расходу продукта A: x 1 + 2x 2 3;
по расходу продукта B: 3x 1 + x 2 3;
В левых частях последних двух неравенств определены расходы продуктов A и B, а в правых частях неравенств записаны запасы этих продуктов.
3) Целевая функция задачи.
Обозначим Z доход от продажи краски (в тысячах рублей), тогда целевая функция задачи записывается так:
Z = 2x 1 + x 2 ,
таким образом, задача состоит в том, чтобы найти max Z=2x 1 +x 2 , при ограничениях:
x 1 + 2x 2 3 (A)
3x 1 + x 2 3 (B)
x 1 , x 2 0 .
Так как переменные задачи x 1 и x 2 входят в целевую функцию и ограничения задачи линейно , то соответствующая задача оптимизации называется задачей линейного программирования (ЛП)
В рассматриваемом примере содержатся только две переменные x 1 и x 2 , поэтому задачу можно решить графически.
1) На плоскости x 1 , x 2 строим область допустимых значений переменных, определяемую ограничениями задачи:
x 1 + 2x 2 3 (A)
3x 1 + 1x 2 3 (B)
x 1 , x 2 0 .
Последнее ограничение определяет первый квадрант плоскости. Чтобы построить множество точек удовлетворяющих неравенству (А) нанесем на плоскость график прямой, определяющий границу этого множества: x 1 +2x 2 =3 (A).
Линии уровня целевой функции. Линией уровня называется множество точек, на которых функция принимает постоянное значение:
Z = 2x 1 + x 2 = К,
где К - задаваемая постоянная.
При К = 1 уравнение линии уровня будет:
2x 1 + x 2 = 1
или (в отрезках) :
При К = 2, аналогично:
2x 1 + x 2 = 2 , или .
Нанеся линии уровня на область допустимых решений (рис.13), получим, что при увеличении значения Z соответствующая линия уровня перемещается параллельно предыдущей вправо и вверх. Таким образом, точкой из многоугольника ABCD в которой целевая функция Z имеет максимальное значение будет вершина С. Эта точка и определяет решение задачи.
| |
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel 00 Методические указания к выполнению лабораторных работ по информатике для обучающихся по всем программам бакалавриата и специалитета дневной формы обучения Хабаровск Издательство ТОГУ 05
2 УДК 68.58(076.5) Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel 00: методические указания к выполнению лабораторных работ по информатике для обучающихся по всем программам бакалавриата и специалитета дневной формы обучения / сост. Н. Д. Берман, Н. И. Шадрина. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, с. Методические указания составлены на кафедре информатики. Включают общие сведения о задачах линейного программирования, задания для выполнения лабораторных работ с вариантами задач, рекомендательный библиографический список. Печатается в соответствии с решениями кафедры информатики и методического совета факультета компьютерных и фундаментальных наук. Тихоокеанский государственный университет, 05
3 . ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В MICROSOFT EXCEL 00. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Общая характеристика задач оптимизации Задачи линейной оптимизации относятся к широко распространённому классу задач, встречающихся в различных сферах деятельности: в бизнесе, на производстве, в быту. Как оптимально распорядиться бюджетом или за минимальное время добраться до нужного места в городе, как наилучшим образом спланировать деловые встречи, минимизировать риски капитальных вложений, определить оптимальные запасы сырья на складе это те задачи, в которых нужно найти наилучшее из всех возможных решений. Различают следующие типы линейных оптимизационных задач: задачи о перевозках, например, минимизация расходов по доставке товаров с нескольких фабрик в несколько магазинов с учетом спроса; задачи распределения рабочих мест, например, минимизация расходов на содержание штата с соблюдением требований, определенных законодательством; управление ассортиментом товаров: извлечение максимальной прибыли с помощью варьирования ассортиментным набором товаров (при соблюдении требований клиентов). Аналогичная задача возникает при продаже товаров с разной структурой затрат, рентабельностью и показателями спроса; замена или смешивание материалов, например, манипуляция материалами с целью снижения себестоимости, поддержания необходимого уровня качества и соблюдения требований потребителей; задача о диете. Из имеющихся в распоряжении продуктов требуется составить такую диету, которая, с одной стороны, удовлетворяла бы минимальным потребностям организма в питательных веществах (белки, жиры, углеводы, минеральные соли, витамины), с другой требовала бы наименьших затрат; задача распределения ресурсов, например, распределение ресурсов между работами таким образом, чтобы максимизировать прибыль, или минимизировать затраты, или определить такой состав работ, который можно выполнить, используя имеющиеся ресурсы, и при этом достичь максимума опре- 3
4 деленной меры эффективности, или рассчитать, какие ресурсы необходимы для того, чтобы выполнить заданные работы с наименьшими издержками. Математическая постановка задачи линейного программирования Рассмотрим наиболее распространенный класс оптимизационных задач задачи линейного программирования. К такому классу относятся задачи, описываемые линейными математическими моделями. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции () при условиях: () () () (3) () (4) где заданные постоянные величины и Функция () называется целевой функцией задачи, а условия ()(4) ограничениями задачи. Совокупность чисел (), удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением. Решение, при котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным. Использование надстройки Excel для решения задач линейного программирования Поиск решения это надстройка EXCEL, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если команда Поиск решения или группа Анализ отсутствует, необходимо загрузить надстройку Поиск решения. 4
5 На вкладке Файл выберите команду Параметры, а затем категорию Надстройки (рис.). Рис. В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти. В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения (рис.) и нажмите кнопку ОК. Рис. Пример решения оптимизационных линейных задач в MS Excel 00 Схема решения задач линейного программирования в MS Excel 00 следующая: 5
6 . Составить математическую модель.. Ввести на рабочий лист Excel условия задачи: а) создать форму на рабочем листе для ввода условий задачи; б) ввести исходные данные, целевую функцию, ограничения и граничные условия. 3. Указать параметры в диалоговом окне Поиск решения. 4. Проанализировать полученные результаты. Рассмотрим решение задачи оптимизации на примере. Пример. Задача определения оптимального ассортимента продукции Предприятие изготавливает два вида продукции П и П, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 3 ед. соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П и П табл.. Таблица Сырье Расход сырья на ед. продукции П П Запас сырья, ед. А 3 9 В 3 3 Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П никогда не превышает спроса на продукцию П более чем на ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П никогда не превышает ед. в сутки. Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. для П и 4 д. е. для П. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? Решение. Построим математическую модель для решения поставленной задачи. Предположим, что предприятие изготовит x единиц продукции П и x единиц продукции П. Поскольку производство продукции ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства: 6
7 Доход от реализации x единиц продукции П и x единиц продукции П составит Cреди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения F max. Рассматриваемая задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени. Создадим на рабочем листе форму для ввода исходных данных (рис. 3). Заливкой выделены ячейки для ввода функций. Рис. 3 В ячейку E5 введем формулу для целевой функции (рис. 4). Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, формулу для расчета целевой функции можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенной для значений переменных задачи (B3, C3), на соответствующие ячейки, отведенные для коэффициентов целевой функции (B5, C5). 7
8 Рис. 4 Аналогично в ячейки D0:D введены формулы для расчета левой части ограничений (рис. 5). Рис. 5 На вкладке Данные в группе Анализ выберем команду Поиск решения. В диалоговом окне Параметры поиска решения установим следующее (рис. 6): 8
9 в поле Оптимизировать целевую функцию выбираем ячейку со значением целевой функции Е5; выбираем, максимизировать или минимизировать целевую функцию; в поле Изменяя ячейки переменных выбираем ячейки со значениями искомых переменных B3:C3 (пока в них нули или пусто); в области В соответствии с ограничениями с помощью кнопки Добавить размещаем все ограничения нашей задачи (рис. 7); в поле Выберите метод решения указываем Поиск решения линейных задач симплекс-методом; нажимаем кнопку Найти решение. Рис. 6 9
10 Добавляем ограничения для нашей задачи. Для неравенств указываем в поле Ссылка на ячейки диапазон D0:D, выбираем в раскрывающемся списке знак неравенства, в поле Ограничение выделяем диапазон F0:F и нажимаем кнопку Добавить (рис. 7), чтобы принять ограничение и добавить следующее ограничение. Для принятия ограничения и возврата к диалоговому окну Поиск решения нажмите кнопку Ok. Рис. 7 Покажем окна для добавления ограничений: преобразуем в (рис. 8); Рис. 8 0
11 (рис. 9); Рис. 9, (рис. 0). Рис. 0 После выбора кнопки Найти решение появляется окно Результаты поиска решения (рис.). Рис.
12 Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис.. Рис. Сохранить модель поиска решения можно следующим образом:) при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения, сохраняются вместе с данными рабочего листа. С каждым рабочим листом в рабочей книге можно сохранить один набор значений параметров Поиска решения;) если в пределах одного рабочего листа Excel необходимо рассмотреть несколько моделей оптимизации (например, найти максимум и минимум одной функции или максимальные значения нескольких функций), то удобнее сохранить эти модели, используя кнопку Загрузить/Сохранить окна Параметры поиска решения. Диапазон для сохраняемой модели содержит информацию о целевой ячейке, об изменяемых ячейках, о каждом из ограничений и все значения диалога Параметры. Выбор модели для решения конкретной оптимизационной задачи осуществляется с помощью кнопки Загрузить/сохранить диалогового окна Параметры поиска решения; 3) сохранить модель можно в виде именованных сценариев, для этого необходимо нажать на кнопку Сохранить сценарий диалогового окна Результаты поиска решений (см. рис.). Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые ячейки, Поиск решения позволяет представлять результаты в виде трех отчетов (Результаты,
13 Устойчивость и Пределы). Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения (рис.). Рассмотрим более подробно каждый из них. Отчет по устойчивости (рис. 3) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Каждая изменяемая ячейка и ограничения приводятся в отдельной строке. При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение Отчеты об устойчивости и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями. Рис. 3 Отчет по результатам (рис. 4) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное 3
14 ограничение это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы. Рис. 4 Отчет по пределам (рис. 5) содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений. Рис. 5 4
15 Полученное решение означает, что объем производства продукции вида П должен быть равен,4 ед., а продукции П,4 ед. продукции. Доход, получаемый в этом случае, составит,8 д. е. Допустим, что к условию задачи добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами. В окне Поиск решения нажмите кнопку Добавить и в появившемся окне Добавление ограничений введите ограничения следующим образом (рис. 6): в поле Ссылка на ячейки введите адреса ячеек переменных задачи B3:C3; в поле ввода знака ограничения установите целое; подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки OK. Рис. 6 Решение задачи при условии целочисленности ее переменных рис. 7. Рис. 7 5
16 . ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Лабораторная работа Задание Найти максимум линейной функции при заданной системе ограничений. Вариант Целевая функция F Ограничения { { { { 3 { { 4 { { 5 { { 6 { { 7 { { 8 { { 9 { { 0 { { { { { { 3 { { 4 { { 5 { { 6
17 Лабораторная работа Задание. Построить математическую модель задачи.. Представить ее в табличной форме на листе Excel. 3. Найти решение задачи средствами надстройки Поиск решения. 4. Вывести отчеты по результатам и устойчивости. Вариант Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида табл.. Таблица Ресурсы Древесина, м 3: -го вида -го вида Нормы затрат ресурсов на одно изделие Стол Шкаф 0, 0, 0, 0,3 Общее количество ресурсов Трудоемкость, чел.ч,5 37,4 Прибыль от реализации одного изделия, р. 6 8 Определить, сколько столов и шкафов следует изготавливать фабрике, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Ответ. Прибыль 940 р. при количестве столов и шкафов 0 и 66. Вариант Для производства двух видов изделий A и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида, общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия табл. 3. 7
18 Таблица 3 Затраты времени, стан.-ч, Тип оборудования на обработку одного изделия А В Фрезерное 0 8 Токарное 5 0 Шлифовальное 6 Прибыль от реализации одного изделия, р. 4 8 Общий фонд полезного рабочего времени оборудования, ч Найти план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Ответ. Прибыль 76 р. при выпуске изделий и 6. Вариант 3 Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования, общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, прибыль от реализации одного изделия данного вида табл. 4. Таблица 4 Тип оборудования Фрезерное Токарное Сварочное Шлифовальное Затраты времени, стан.-ч, на обработку одного изделия вида А В С Прибыль, р. 0 4 Общий фонд рабочего времени оборудования, ч Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Ответ. Прибыль 49 р. при выпуске изделий 4, 8, 0. 8
19 Вариант 4 Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 8 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена кг каждого из этих продуктов табл. 5 Таблица 5 Питательные вещества Содержание, г, питательных веществ в кг продуктов Мясо Рыба Молоко Масло Сыр Крупа Картофель Белки Жиры Углеводы Минеральные соли Цена кг продуктов, р.,8,0 0,8 3,4,9 0,5 0, Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов. Ответ. Минимальная общая стоимость 0, р. при количестве продуктов: мясо 0; рыба 0; молоко 0; масло 0,03335; сыр 0; крупа 0,9053; картофель 0. Вариант 5 Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В, и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство т карамели данного вида, общее количество сырья каждого вида, прибыль от реализации т карамели табл. 6. 9
20 Таблица 6 Вид сырья Сахарный песок Патока Фруктовое пюре Нормы расхода сырья, т, на т карамели А В С 0,8 0,4 0,5 0,4 0, 0,6 0,3 0, Прибыль от реализации т продукции, р Общее количество сырья, т Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации. Ответ. Максимальная прибыль р. при выпуске карамели 00, 0, 00 т. Вариант 6 На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия, имеющееся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида табл. 7. Таблица 7 Артикул ткани I II III Норма расхода ткани, м, на одно изделие вида 3 4 Цена одного изделия, р Общее количество ткани, м Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной. Ответ. Максимальная стоимость продукции 5 р. при выпуске изделий 95, 0, 0, 0. 0
21 Вариант 7 Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования, общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования и прибыль от реализации одного изделия данного вида табл. 8. Таблица 8 Затраты времени, стан.-ч, Тип оборудования на единицу продукции вида 3 4 Токарное Фрезерное Шлифовальное Прибыль от реализации 3 единицы продукции, р. 8 3 Общий фонд рабочего времени, стан.-ч Определить такой объем выпуска каждого из изделий, при котором общая прибыль от их реализации является максимальной. Ответ. Максимальная прибыль 965 р. при выпуске изделий 70, 35, 0, 0. Вариант 8 Торговое предприятие планирует организовать продажу четырех видов товара, используя при этом только два вида ресурсов: рабочее время продавцов в количестве 840 ч и площадь торгового зала 80 м. При этом известны плановые нормативы затрат этих ресурсов в расчете на единицу товаров и прибыль от их продажи табл. 9. Таблица 9 Показатели Расход рабочего времени на единицу товара, ч Использование площади торгового зала на единицу товара, м Товар А В С D 0,6 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,4 0, Прибыль от продажи единицы товара, р Общее количество ресурсов
22 Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговому предприятию максимальную прибыль. Ответ. Максимальная прибыль 6 00 р. при продаже товаров 0, 0, 0, 800. Вариант 9 Из трех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 30 ед. вещества В и 4 ед. вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в кг сырья каждого вида, цена кг сырья каждого вида табл. 0 Таблица 0 Вещество А В С Цена кг сырья, р. Количество единиц вещества, содержащегося в кг сырья вида Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость. Ответ. Минимальная стоимость 6 р. при количестве 0; 0; 0; 6,5 кг. Вариант 0 Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на изготовление одного изделия каждого вида, общий фонд рабочего времени каждой из групп технологического оборудования, объемы имеющегося сырья каждого вида, цена одного изделия каждого вида, ограничения на возможный выпуск каждого из изделий табл..
23 Ресурсы Производительность оборудования в нормочасах: I типа II типа Сырье, кг: -го вида -го вида Цена одного изделия, р. Выпуск, шт.: минимальный максимальный Нормы затрат на одно изделие вида Таблица Общее количество ресурсов Составить план производства продукции, по которому будет изготовлено необходимое количество изделий каждого вида, при максимальной общей стоимости всей изготовляемой продукции. Ответ. Общая стоимость 495 р. при выпуске продукции 0, 33, 45. Вариант При производстве четырех видов кабеля выполняется пять групп технологических операций. Нормы затрат на км кабеля данного вида для каждой из групп операций, прибыль от реализации км каждого вида кабеля, а также общий фонд рабочего времени, в течение которого могут выполняться эти операции, табл. Таблица Технологическая операция Нормы затрат времени, ч, на обработку км кабеля вида 3 4 Волочение Наложение изоляций Скручивание элементов в кабель Освинцовывание Испытание и контроль,0 6,4 3,0,8 0,4 5,6,5,6 0,8 6,0,8 0,8,4 0,7 8,0,4 3,0 Прибыль от реализации км кабеля, р., 0,8,0,3 Общий фонд рабочего времени, ч
24 Определить план выпуска кабеля, при котором общая прибыль от реализации изготовляемой продукции является максимальной. Ответ. Общая прибыль от реализации 939,48 57 р. при выпуске 00; 64,8 57; 0; 0. Вариант Стальные прутья длиной 0 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35 и 50 см. Требуемое количество заготовок данного вида составляет соответственно 40, 30 и 0 шт. Возможные варианты разреза и величина отходов при каждом из них табл. 3. Таблица 3 Варианты разреза Длина заготовки, см Величина отходов, см Определить, сколько прутьев по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида при минимальных отходах. Ответ. Минимальные отходы равны 550 см при количестве прутьев 0, 0, 0, 0, 0, 0 шт. Вариант 3 Для производства трех видов изделий А, В, С предприятие использует четыре вида сырья. Нормы затрат сырья каждого вида на производство единицы продукции данного вида, прибыль от реализации одного изделия каждого вида табл. 4. 4
25 Таблица 4 Нормы затрат сырья, кг, на единицу продукции Вид сырья А В С I II III IV Прибыль от реализации одного изделия Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но для их производства предприятие может использовать сырье I вида не более 00 кг, II вида не более 0 кг, III вида не более 80 кг, IV вида не более 38 кг. Определить план производства продукции, при котором общая прибыль предприятия от реализации всей продукции была бы наибольшей. Ответ. План производства изделий 7, 5, 0 кг при общей прибыли 5 кг. Вариант 4 Туристическое агентство собирается заказать издательству выпуск художественных альбомов трех типов A, B, C. Их изготовление лимитируется затратами ресурсов трех видов, удельные расходы которых приведены в табл. 5. Вид ресурса Финансы, $ Бумага, л. Трудозатраты, чел. ч Таблица 5 Удельные затраты ресурсов на выпуск альбомов A B C 4 4 Издательство для выполнения заказа получило финансовые средства в объеме $ 3 600, имеет в наличии л. бумаги и может использовать трудовые ресурсы в объеме 00 чел. ч. Агентство платит за выпуск одного альбома типа А дол., за альбом В 8 дол., за альбом С 30 дол. 5
26 Сколько альбомов каждого типа должно выпустить издательство, чтобы получить наибольшую прибыль? Ответ. Максимальный суммарный доход дол., количество альбомов: 400; 800; 0 шт. Вариант 5 Предприятие оптовой торговли может реализовать T j, j, 4 группы товаров. Для этого используется несколько видов ресурсов. Исходные данные для построения математической модели табл. 6. Лимитирующие ресурсы и показатели Товарная группа T T T 3 T4 Объем ресурса Таблица 6 Складские площади, м Трудовые ресурсы, чел.ч Издержки обращения, ден. ед Товарные запасы, ден. ед План товарооборота, ден. ед Минимально допустимые значения товарооборота по j-й группе, ед. Прибыль в расчете на единицу товарооборота j-й группы, ден. ед. Вид огра ниче- ния Требуется рассчитать план хозяйственной деятельности торгового предприятия, обеспечивающий максимум прибыли при заданных ограничениях на складские площади, трудовые ресурсы, издержки обращения, товарные запасы, величину товарооборота, если торговая прибыль в расчете на единицу товарооборота j -й группы задана. Ответ. Максимальна прибыль ден. ед. Товарооборот по группам: Т 00 ед., Т 000 ед., Т ед., Т ед. 6
27 3. РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие для студентов экон. спец. сузов / И. Л. Акулич. М. : Высш. шк., с.. Леоненков, А. В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel / А. В. Леоненков. СПб. : БХВ-Петербург, с. 3. Васильев, А. Н. Финансовое моделирование и оптимизация средствами Excel007 / А. Н. Васильев. СПб. : Питер, с. 4. Уокенбах, Дж. Microsoft Excel 00. Библия пользователя: пер. с англ. / Дж. Уокенбах. М. : И. Д. Вильямс, 0. 9 с. 5. Уокенбах, Дж. Формулы в Microsoft Excel 00: пер. с англ. / Дж. Уокенбах. М. : И. Д. Вильямс, с. 6. Иванов, И. Microsoft Excel 00 для квалифицированного пользователя / И. Иванов. М. : Академия АЙТИ, с. 7. Справка и инструкции по Excel // Поддержка по Microsoft Office [Электронный ресурс]. Режим доступа: (дата обращения:). 8. Решение задач оптимизации управления с помощью MS Excel 00 // НОУ «ИНТУИТ» [Электронный ресурс]. Режим доступа: (дата обращения:). Оглавление. Задачи линейного программирования в Microsoft Excel 00. Общие сведения... 3 Общая характеристика задач оптимизации... 3 Математическая постановка задачи линейного программирования... 4 Использование надстройки Excel для решения задач линейного программирования... 4 Пример решения оптимизационных линейных задач в MS Excel Лабораторные работы... 6 Лабораторная работа... 6 Лабораторная работа Рекомендательный библиографический список
28 Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel 00 Методические указания к выполнению лабораторных работ по информатике для обучающихся по всем программам бакалавриата и специалитета дневной формы обучения Нина Демидовна Берман Нина Ивановна Шадрина Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Е. Н. Ярулина Подписано в печать Формат 60 x 84 / 6. Бумага писчая. Гарнитура «Калибри». Печать цифровая. Усл. печ. л.,68. Тираж 60 экз. Заказ 70. Издательство Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 36. Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 36. 8
ОБЪЕМНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ РАБОТЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СТАНОЧНЫХ СИСТЕМ Х а б а р о в с к 2 0 0 9 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Практическое занятие 3. 1. Для данных условий сформулируйте оптимизационную задачу, составьте математическую модель, найдите оптимальный план производства с помощью надстройки «Поиск решения» в EXCEL.
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тихоокеанский государственный университет» Н. И. Шадрина, Н.
Составление, решение и анализ задачи линейного программирования в Excel ЗАДАНИЕ. Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Записать сопряжённую задачу. Провести анализ и сделать
Задача распределения ресурсов предприятия Содержательная постановка задачи Фабрика выпускает сумки: женские, мужские, дорожные. Данные о материалах, используемых для производства сумок и месячный запас
Лабораторная работа 11 Решение задачи оптимального распределения ресурсов Задание Предприятие выпускает продукты нескольких видов. Для их изготовления используется сырье различного типа. Известны нормы
Лабораторная работа 3_9. Поиск и принятие решений в Excel. Что осваивается и изучается? Решение задачи определения оптимального плана и транспортной задачи при помощи надстройки «Поиск решения». Задание
Лабораторная работа 3. Поиск решения в Microsoft Excel Целью лабораторной работы является изучение возможностей средства Поиск решения MS Excel для решения оптимизационных задач. К защите лабораторной
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬ- НОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Технология
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТИХООКЕАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Совместная работа
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ КАК ФУНКЦИИ EXCEL Команда Подбор параметра Задание 1. Рассмотрим задачу, составленную на основании задачи по использованию функции ЧПС. Вас просят
ВАРИАНТ Для изготовления изделий двух видов имеется 00 кг металла. На одно изделие -го вида расходуется кг металла, а изделия -говида кг. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей
Лабораторная работа 4 Тема работы: Решение задачи об оптимальном распределении ресурсов при выпуске продукции с использованием процедуры Поиск решения Microsoft Excel. Цель работы: Научиться использовать
Практическая работа 5.4. Решение задачи об оптимальном распределении ресурсов при выпуске продукции с использованием процедуры «Поиск решения» Microsoft Excel Цель работы. Выполнив эту работу, Вы научитесь:
Московская Государственная Академия Тонкой Химической Технологии имени М. В. Ломоносова Корнюшко В.Ф., Морозова О.А. Детерминированные модели экономических систем Методическое пособие по дисциплине Математические
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «ИНФОРМАТИКА» РЕАЛИЗАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В СРЕДЕ EXCEL Методические указания к проведению лабораторных
Оптимизация производственной программы Методические указания к лабораторной работе по экономике электротехнической промышленности Ульяновск 009 В 9 Васильев, В. Н. Оптимизация производственной программы
Экономико-математические методы и моделирование. Практическая работа 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Решить задачу линейного программирования (ЛП) симплексным методом. Расчеты
РАБОТА 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Цель работы: ознакомление с методами решения задач линейного программирования в табличном процессоре Ecel. Решение экономических задач, как правило, связано
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Кафедра «Технология деревообработки» МОДЕЛИРОВАНИЕ
АНАЛИЗ ДАННЫХ В MS EXCEL Гедранович Валентина Васильевна 27 июня 2012 г. Аннотация Глава 11 из УМК: Гедранович, В.В. Основы компьютерных информационных технологий: учеб.-метод. комплекс / В.В. Гедранович,
Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы
Лабораторная работа 3. Надстройка Поиск решения в Microsoft Excel. Диспетчер сценариев в Microsoft Excel. Целью данной лабораторной работы является изучение возможностей средства Поиск решения в Microsoft
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего профессионального образования Уральский институт фондового рынка Кафедра Экономики предприятия ЭКОНОМИКА ФИРМЫ Сборник кейсов тема «Планирование
Практическое занятие 4. Для условий задачи cформулируйте двойственную задачу и найдите объективно обусловленные оценки. Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане. Вариант 1. Для изготовления
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 Тема: Анализ данных в OpenOffice Calc 1. Основные понятия Процесс изменения значений ячеек и анализа влияния этих изменений на результат вычисления формул в OpenOffice.org Calc называется
Подбор параметра При обработке табличных данных часто возникает необходимость в прогнозировании результата на основе известных исходных данных или наоборот, в определении того, какими должны быть исходные
2 ПЛАН ЛЕКЦИИ: АНАЛИЗ ДАННЫХ В MS EXCEL Информатика 2 семестр Кондратенко Ольга Брониславовна [email protected] Инструмент анализа «что если» Инструмент анализа «что если» создание таблиц данных с одной
Практическая работа 13 Тема: ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ (ПОИСК РЕШЕНИЯ) В MICROSOFT EXCEL Цель занятия. Изучение технологии поиска решения для задач оптимизации (минимизации, максимизации). Задание 13.1. Минимизация
Приложение Содержимое кейса Задача 1 Одна вновь организованная коммерческая фирма решила выпускать два типа стульев х1 и х2. Для их производства необходимо два вида материалов: дерево и ткань. Фирма ежемесячно
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ MICROSOFT EXCEL 2007 ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ 100800.62) 2.1 Решение задач оптимизации Задача. Завод производит электронные приборы
МОСКОВСКИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ им. А.А.Расплетина ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА По предмету «Математические методы» «Двухиндексные задачи линейного программирования» Составил: Преподаватель МРТК им.а.а.расплетина
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ
СОДЕРЖАНИЕ. ЗАДАНИЕ.... ЭТАПЫ РАБОТЫ..... Формирование математической модели задачи..... Решение прямой задачи симплекс-методом..... Построение двойственной задачи... 6.4. Решение прямой и двойственной
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Ecel ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Технология машиностроения»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.
Тверь Реферат Сервис Содержание Задача 1. Ассортимент продукции... 3 Условие задачи... 3 Математическая постановка задачи... 3 Табличная модель задачи... 5 Отчет о результатах решения задачи 1.... 6 Вывод...
ЗАДАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ 4 И ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ 5 Задачи линейной оптимизации Построение экономико-математических моделей (ЭММ). Решение задач линейной оптимизации с использованием информационных технологий.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО MS EXCEL 2007 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.... 1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2... 3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3... 4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4... 7 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5... 8 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6... 10
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
1 Лабораторная работа 3 Решение задач. Подбор параметров, поиск решения 1. Реализация математической модели в Excel Математическая модель это описание состояния поведения некоторой реальной системы (объекта,
Gnumeric: электронная таблица для всех И.А.Хахаев, 2007-2010 7 Линейная оптимизация (поиск решения) 7.1 Оптимизация как задача линейного программирования Пусть имеется функция, называемая целевой, линейно
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Институт экономики
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Самарский государственный технический университет» ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ
ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f () C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ В СРЕДЕ MS EXCEL Методические указания
«Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «СамГТУ») Кафедра
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра
Лабораторная работа 4 «Электронные таблицы Excel и автоматизация вычислений на ПК» РАЗДЕЛ 4. Решение систем уравнений и оптимизационных задач. Вычислительные возможности программы Excel достаточно широки,
Введение Линейное программирование раздел математики, в котором изучаются теория и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Дегтярёва Нина Адамовна, к.э.н., доцент Коммерческая работа - это деятельность предприятия, направленная на решение особого комплекса задач. Изучение
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1. Цели работы: построение математической модели задачи линейного программирования; решение задачи линейного программирования графическим
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Частное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский университет технологий управления и экономики»
Кафедра экономики и менеджмента
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Выполнил:
Студент (ка) 3 курса, группа № 19731Д/3-2
Крюк Альбина Владимировна
Руководитель:
к.э.н., доцент Ж.М. Козлова.
Барнаул 2016
- Введение
- Заключение
- ВВЕДЕНИЕ
- Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».
- Темы контрольной работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.
1. Типовые задачи оптимизации и их экономико-математические модели
Экономико-математическое моделирование представляет собой процесс выражения экономических явлений математическими моделями. Экономическая модель -- это схематичное представление экономического явления или процесса с использованием научной абстракции, отражение их характерных черт. Математические модели -- основное средство решения задач оптимизации любой деятельности. По своей сути эти модели -- средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа и оптимизации решений состоит в том, что они позволяют оценить напряженность плановых заданий, определить лимитирующую группу оборудования, видов ресурсов, получать оценки их дефицитности и т.п. Математическое моделирование экономических явлений и процессов дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Модель -- условный образ объекта управления /1/.
Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:
1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;
2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу;
3) анализ полученных результатов.
Важнейшим моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. Такими критериями в системе менеджмента могут быть:
а) максимизация полезного эффекта товара при ограничении совокупности затрат;
б) максимизация прибыли фирмы при условии, что качество товара не снизится; в) снижение себестоимости товара при условии, что его качество не снизится, затраты у потребителя не увеличатся;
г) рост производительности труда, улучшение использования оборудования или материалов, повышение оборачиваемости оборотных средств при условии, что качество товара не снизится и другие критерии не ухудшатся.
Таким образом, в качестве критерия оптимизации может быть целое или любой компонент прибыли, эффективности товара, объема рынка при условии, что другие компоненты при этом не ухудшатся.
Например, уравнение целевой функции (L) и система ограничений по оптимизации прибыли фирмы (правда, у авторов нет ограничений по качеству товара) будет иметь следующий вид:
где хj -- количество производимой продукции j-го вида в натуральных измерениях;
Пj -- прибыль, получаемая от производства единицы продукции j-го вида;
аij -- норма расхода i-го производственного ресурса на производство единицы j-го вида продукции;
щj -- запасы i-го вида производственного ресурса на рассматриваемый период времени.
Не для всякой экономической задачи нужна собственная модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других существуют типовые модели, к которым приводится множество конкретных задач.
Вторым этапом моделирования экономических процессов является выбор наиболее рационального математического метода для решения задачи. Например, для решения задач линейного программирования известно много методов: симплексный, потенциалов и др. Лучшей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление, а та, которая позволяет получить самое рациональное решение и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализация затрудняет построение модели, а излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономической информации, к неадекватному отражению реальности.
Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ результата, полученного при изучении экономического явления. Окончательным критерием достоверности и качества модели являются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям, экономическая содержательность полученных оценок. Если результаты не соответствуют реальным условиям, то необходим анализ причин несоответствия, в качестве которых могут быть недостоверность информации, несоответствие модели экономическим условиям и др. По результатам анализа причин несоответствия экономико-математическая модель корректируется и решение задачи повторяется.
Решим графическим методом типовую задачу оптимизации
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Сформулируем прямую оптимизационную задачу.
Пусть х1 - количество обычных наборов удобрений;
х2 - количество улучшенных наборов удобрений.
А для некоторого газона требуется по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно:
3х1 + 2х2 ? 10
4х1 + 6х2 ? 20
Стоимость необходимых наборов удобрений составит:
Таким образом, получим следующую экономико-математическую модель задачи:
min (х) = 3х1 + 4х2
3х1 + 2х2 ? 10
4х1 + 6х2 ? 20
Построим область решений системы ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики - прямые.
1) 3х1 + 2х2 ? 10
3х1 + 2х2 = 10
3) х1 + 3х2 ? 7
Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).
х1 = 0 - ось ОХ2.
х2 = 0 - ось ОХ1.
Следовательно, область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.
Рис.1. Графическое решение ЗЛП
Находим общую часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая заштрихованная область.
Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:
(х) = d1x1 + d2x2
(х) = 3х1 + 4х2
Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d1;d2).
И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).
Для определения минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min(х).
Определим координаты точки В:
3х1 + 2х2 = 10 *(-3)
4х1 + 6х2 = 20
9х1 - 6х2 = -30
4х1 + 6х2 = 20
Складываем почленно уравнения и получаем:
(х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)
Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 денежных единиц. microsoft excel программирование математический
Если решать данную задачу на максимум, то конечного оптимума не найдем, т.к. функция цели неограниченна, область решений системы ограничений бесконечна.
2. Задачи линейного программирования, решение средствами MS Excel
Линейное программирование является разделом, с которого начала развиваться дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми. Задачи линейного программирования является удобной математической моделью для большого числа экономических задач (планирование производства, расходование материалов, транспортные перевозки и т.д.). Использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.
В электронных таблицах Excel с помощью функции поиска решения можно вести поиск значения в целевой ячейке, изменения значения переменных. При этом для каждой переменной можно задать ограничения, например верхнюю границу. Перед тем как запустить поиск решения, необходимо четко сформулировать в модели решаемую проблему, т.е. определить условия, выполняемые при оптимизации. Отправленной точкой при поиске оптимального решения является модель вычисления, созданная в рабочем листе. Программе поиска решения при этом необходимы следующие данные. 1. Целевая ячейка - это ячейка в модели вычисления, значения в которой должно быть максимизировано, минимизировано или же равняться определенному указанному значению. Она должна содержать формулу, которая прямо или косвенно ссылается на изменяемые ячейки, или же самой быть изменяемой. 2. Значения в изменяемых ячейках будут последовательно (методом итераций) изменяться до тех пор, пока не будет получено нужное значение в целевой ячейке. Эти ячейки, следовательно, прямо или косвенно должны влиять на значение целевой ячейки. 3. Вы можете задать как для целевой, так и для изменяемых ячеек, ограничения и граничные условия. Можно задать также ограничения для других ячеек. Прямо или косвенно присутствующих в модели. Программа предоставляет возможность задать специальные параметры, определяющие процесс поиска решения. После задания всех необходимых параметров можно запустить поиск решения. Функция поиска решения создаст по итогам своей работы три отчета, которые можно пометить в рабочую книгу.Ограничения - это условия, которые должны быть выполнены аппаратом поиска решения при оптимизации модели.
Изучение литературы показало, что:
1. Линейное программирование - это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование».
Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:
· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
· оптимизации производственной программы предприятий;
· оптимального размещения и концентрации производства;
· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
· управления производственными запасами;
· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
2. Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С помощью правильной постановки задачи планирования производства и наличия основных производственных параметров, мы можем найти план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
Благодаря программному продукту Excel, который входит в пакет MS Office, решение наших задач ускоряется в несколько десятков раз. А благодаря точным математическим расчетам данного ПО, мы можем без сомнения найти самые точные результаты исследований.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.
курсовая работа , добавлен 27.08.2012
История развития и функции линейного программирования. Исследование условий типовых задач и возможностей табличного процессора. Решение задач о рационе питания, плане производства, раскрое материалов и рациональной перевозке груза в среде MS Excel.
курсовая работа , добавлен 28.04.2014
Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.
лабораторная работа , добавлен 26.10.2013
Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа , добавлен 21.03.2012
Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.
курсовая работа , добавлен 10.06.2014
Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.
дипломная работа , добавлен 20.11.2010
Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".
курсовая работа , добавлен 29.05.2015
Разработка таблиц в Excel методами линейного программирования с целью оптимизации расходов ресурсов и запасов на изготовление продукции: определение переменных величин, структуры целевой функции, построение математической модели и блок-схем решения задач.
курсовая работа , добавлен 07.06.2010
Методы решения задач линейного программирования: планирования производства, составления рациона, задачи о раскрое материалов и транспортной. Разработка экономико-математической модели и решение задачи с использованием компьютерного моделирования.
курсовая работа , добавлен 13.03.2015
Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.
Решим данную задачу графическим методом в табличном редакторе Microsoft Excel (рис. 1). Для построения ОДР, и линий уровня воспользуемся Мастером диаграмм . ОДР представляет собой многоугольник с вершинами в точках: (0;0), (0;6), (2;5), (4;3), (5;0).
При перемещении линии уровня в направлении вектора получаем оптимальное решение в точке с координатами (2;5).
Аналогичным образом можно решить данную задачу графическим методом в табличном редакторе OpenOffice.org Calc воспользовавшись пунктом меню Диаграмма .
Решение ЗЛП в Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функции Поиск решения
В табличном процессоре Microsoft Excel существует встроенная функция Поиск решения , с помощью которой можно решить задачу линейного программирования. Если данный модуль установлен, его можно запустить выбрав команду Сервис/Поиск решения (рис. 2). На экране появится диалоговое окно Поиск решения (рис. 3).
Р и с. 2. Р и с. 3.
Если такого пункта в меню Сервис не оказалось, следует загрузить соответствующую программу-надстройку. Для этого выберите команду Сервис/Надстройки (рис. 4) и в диалоговом окне Надстройки установите флажок в строке Поиск решения (рис. 5).
Разберем решение ЗЛП с помощью функции Поиск решения на примере задачи 1.
1. Создадим таблицу для ввода исходных данных: переменных, целевой функции, ограничений.
2. Введем начальные нулевые значения для и .
3. Зададим целевую функцию в ячейке D41 и ограничения в ячейках Е39, Е40 и E41 (рис. 6).
Р и с. 4. Р и с. 5.
4. Выберем команду Сервис/Поиск решения , в открывшемся окне Поиск решения установим целевую ячейку D41, зададим условие отыскания максимального значения (рис. 7).
5. В поле Изменяя ячейки установим ссылку на ячейки С40 и С41, которые будут изменены (можно ввести адреса или имена ячеек с клавиатуры или указать диапазон ячеек на рабочем листе с помощью мыши). При щелчке на кнопке Предположить автоматически выделяются ячейки, на которые есть прямая или косвенная ссылка в формуле целевой ячейки (рис. 7).
6. Определим ограничения, для этого щелчком по кнопке Добавить откроем диалоговое окно Добавление ограничения . Введем ограничения для ячеек E39, E40, E41. Ограничения можно задать как для изменяемых ячеек, так и для целевой ячейки, а также для других ячеек, прямо или косвенно присутствующих в модели (рис. 8, 9).
Р и с. 8. Р и с. 9.
7. Щелчком на кнопке Параметры откроем диалоговое окно Параметры поиска решения . В данном окне выберем линейную модель и неотрицательные значения (неотрицательные значения для ячеек С40 и С41 можно было также установить при определении ограничений). Подробнее узнать о задаваемых параметрах можно щелкнув на кнопке Справка (рис. 10).
8. После того как все параметры и ограничения заданы, запускаем поиск решения, щелкнув на кнопке Выполнить (рис. 9). По мере того как идет поиск, отдельные его шаги отражаются в строке состояния. Когда поиск будет закончен, в таблицу будут внесены новые значения и на экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения , сообщающие о завершении операции (рис. 11).
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Сохраним найденное решение. В этом случае таблица будет обновлена. В случае необходимости всегда можно будет восстановить исходные данные с помощью отчета. Для выбора типа отчета достаточно выделить название нужного отчета в списке Тип отчета (или несколько названий, удерживая нажатой клавишу Сtrl ). Они будут вставлены на отдельных листах в рабочую книгу перед листом с исходными данными.
Предлагаемые отчеты содержат следующую информацию:
отчет Результаты содержит сведения о начальных и текущих значениях целевой ячейки и изменяемых ячеек, а также о соответствии значений заданным ограничениям;
отчет Устойчивость отражает найденный результат, а также нижние и верхние предельные значения для изменяемых ячеек;
отчет Пределы показывает зависимость решений от изменения формулы или ограничений.
Если планируется использовать созданную модель в дальнейшем, найденное решение можно сохранить как сценарий. Для этого в диалоговом окне Результаты поиска решения необходимо щелкнуть на кнопке Сохранить сценарий .
Аналогично Поиск решения осуществляется в OpenOffice.org Calc.
Задание
1. Решить задачи 2 и 3 графическим методом.
2. Решить задачи 2 и 3 в редакторе Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc используя встроенную функцию Поиск решения .
3. Сравнить и проанализировать полученные результаты.
4. Ответить на контрольные вопросы.
5. Оформить отчет.
Задача 2. Фармацевтическая фирма Ozark ежедневно производит не менее 800 фунтов некой пищевой добавки – смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в таблице 2.
Таблица 2
Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма Ozark хочет определить рецептуру смеси минимальной стоимости с учетом требований диетологов.
Задача 3. Предприятие, специализирующееся на производстве трикотажного полотна двух видов, использует для своего производства четыре вида сырья (шерстяную, хлопковую, вискозную, и акриловую нити), запасы которого на планируемый период составляют соответственно 80, 80, 260 и 410 бобин. В приведенной ниже таблице даны технологические коэффициенты, т.е. расход каждого вида сырья на производство одного метра каждого вида трикотажа.
Таблица 3
Прибыль от реализации 1м трикотажного полотна первого вида составляет 2 у.е., а трикотажного полотна второго вида 3 у.е. Необходимо определить оптимальный план выпуска трикотажного полотна первого и второго вида, чтобы обеспечить максимальную прибыль от их реализации.
1. Что означает составить математическую модель ЗЛП?
2. Из каких этапов состоит графический метод решения ЗЛП?
3. Какова геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств с двумя переменными?
4. Как определяется направление наискорейшего возрастания целевой функции?
5. Какое решение называется оптимальным решением ЗЛП?
6. В каком случае ЗЛП имеет множество решений?
7. При каких условиях ЗЛП может быть неразрешима?
8. Как установить модуль Поиск решения ?
9. Для чего предназначена кнопка Предположить в окне Поиск решения ?
10. Какие типы отчетов можно получить при решении ЗЛП с помощью встроенной функции Поиск решения ?
Лабораторная работа №2
Симплексный метод. Задача определения оптимального плана выпуска продукции. Использование встроенных функций редакторов Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc для построения математической модели и решения ЗЛП.
Цель лабораторного занятия:
Приобретение навыков решения ЗЛП симплекс-методом. Освоение приемов записи математической модели ЗЛП с большим количеством неизвестных в табличных редакторах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функций СУММПРОИЗВ. Приобретение навыков решения ЗЛП с большим количеством неизвестных с помощью функции Поиск решения .
Задачи лабораторного занятия:
1. Освоение симплекс-метода решения ЗЛП.
2. Построение математической модели задачи в табличных редакторах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функций СУММПРОИЗВ.
3. Нахождение максимума (минимума) целевой функции с помощью команды Поиск решения .
4. Анализ полученных результатов.
5. Оформление отчета.
1. Краткие теоретические сведения.
2. Решение ЗЛП симплекс методом без использования табличных редакторов.
3. Решение ЗЛП на определение оптимального плана выпуска продукции в Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc с помощью встроенной функции Поиск решения .
4. Задание.
5. Контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения
В основу симплекс-метода (симплексного метода) легла идея последовательного улучшения решения.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная целевая функция принимает лучшее или, по крайней мере, не худшее значение. Этот процесс осуществляется до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение целевой функции (если задача имеет конечный оптимум).
Реализация симплекс-метода предусматривает содержание трех основных элементов:
1. Определение какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи (базисное решение называется допустимым, если значения, входящих в него переменных неотрицательны);
2. Правила перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
3. Критерий проверки оптимальности найденного решения.
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.
Практические расчеты при решении прикладных задач симплексным методом выполняются в настоящее время с помощью компьютерных программ, таких как табличный процессор Microsoft Excel, пакеты прикладных программ MathCAD, Math Lab и др. Однако, если расчеты осуществляются вручную, удобно использовать так называемые симплексные таблицы.