Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:
Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.
Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.
Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.
Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.
Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 =
12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 =
0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0
Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.
Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.
Рис. 2.2.2.
Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.
Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:
- 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
- 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
- 3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).
Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.
Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.
4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.
Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.
Таблица 2.2.1
|
Вид ОДР |
|
|
Ограниченная |
Единственное решение |
|
Бесконечное множество решений |
|
|
Неограниченная |
ЦФ не ограничена снизу |
|
ЦФ не ограничена сверху |
|
|
Единственное решение |
|
|
Бесконечное множество решений |
|
|
Единственное решение |
|
|
Бесконечное множество решений |
Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).
Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.
Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.
Экономико-математическая модель задачи
Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.
Целевая функция :
Ограничения :
Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.
В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.
На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:
Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).
Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.
Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для быстрого нахождения значения функций по соответствующему значению аргумента, для наглядного изображения функциональных зависимостей.
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов.
С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также. графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.
Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественных факторов.
Обозначения: каждый круг считается одной из вершин графика; цифра в верхнем секторе каждой вершины означает ее порядковый номер; нз номеров двух соседних вершин складывается шифр работы; цифра в нижнем секторе каждой вершины является порядковым номером предшествующей вершины, а линия, соединяющая эти две вершины, означает определенную работу. Внизу под линией записана плановая продолжительность данной работы; цифра в левом секторе каждой вершины означает общую продолжительность всех предшествующих работ, цифра в правом секторе отличается от цифры в левом на величину резерва (запаса времени). Такнм образом, для вершин, лежащих на критическом пути, цифры в левом и правом секторах вершины совпадают, поскольку запас времени равен 0.
В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.
Сетевой график (рис. 6.1) позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительномонтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.
Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20-30%, повышение производительности труда на 15-20%.
При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.
Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплекса объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.
На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель (организация и бригада), численность рабочих, сменность, потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после окончания которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график, который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы произ
водства работ и уровня руководства; кроме общего графика исполнители разрабатывают график выполняемых ими работ.
Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.
При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства в срок.
Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду. В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строительства, осуществляемому по сетевому графику (табл. 6.1). По данным карты, критические работы выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отставание монтажа подкрановых балок по ряду Б, а последующая работа - монтаж подкрановых балок по ряду А - закончена с отставанием на один день.
Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ (более дорогостоящих) - минимизировать уровень потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ, для другой - минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.
Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов прикладных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.
В зарубежной практике системного анализа распространен графо-математический метод, получивший название «дерево решений». Суть этого метода заключается в следующем.
Путем предварительной оценки потребностей, предварительного анализа возможных организационных, технических или технологических условий намечаются все предполагаемые варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются
| | Задание | | Информация | Резерв времени по работам | Чис тый |
|||||||
| Наименование работ | шифр | дата начала | дата оконча | плановая продол | Ре зерв вре | % тех- | требуемое время для | при чина | фактическая дата | находя щимся | не находящимся | резерв времени с |
| | работ | работ (план) | ния работ (план) | житель ность, дней | мени | кой готов ности | оконча ния работ, дней | задер жки | оконча ния работ | на критическом пути | аа критическом пути | начала месяца, дней |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Разработка грунта | 1-2 | 1/IV | 6/IV | 5 | 0 | 100 | - | - | 6/IV | ¦- | - | - |
| Бетонирование фундаментов под котлы | 2-3 | 7/IV | 17/1V | 9 | 0 | 100 | 14/IV | 2 | 2 |
|||
| Бетонирование фундаментов по ряду А | 2-4 | 7/IV | 14/1V | 7 | 2 | 100 | 14/IV | | | |
||
| То же по ряду Б | 2-5 | 7/IV | 14/IV | 7 | 2 | 100 | - | - | 14/IV | | | |
| Устройство трубной разводки | 6-18 | 18/IV | 21/IV | 4 | 19 | 100 | - | - | 29/IV | -7 |
||
| Устройство обратной засыпки | 6-7 | 18/IV | 19/IV | 2 | 0 | 100 | 17/IV | 2 | 2 |
|||
| Монтаж сборных железобетонных ко | | | | | | | | | | | | |
| лонн: по ряду Б | 7-8 | 20/IV | 22/IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22/IV | _ | - | - |
| по ряду А | 7-9 | 20/IV | 22/IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22/IV | - | - | - |
Устройство подкрановых путей и монтаж башенного крана 7-10
Установка опорных рам на фундамент под оборудование 7-16 Монтаж подкрановых балок:
по ряду Б 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2
по ряду А 10-12 25/IV 26/IV
Монтаж первой части балок и плит покрытия 12-13 27/IV 4/V
Монтаж подкрановых путей мостового lt;3 крана 12-14 27/IV 3/V
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 0 | 100 | - | - | 22/IV | 1 | - | 1 |
| 14 | 100. | - | - | 29/IV | - | -5 | - |
| 1 | 100 | за- | 27/IV | -2 |
27/IV -1
держ- ка с поставкой ж/б конструкций
- 100 -
укрупненные варианты. Затем по мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгодные из них и избрать наиболее приемлемый.
Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении транспортных и других задач.
Краткая теория
Линейное программирование - раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.
Графический метод решения задач линейного программирования дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ограничений ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.
Если ограничения и целевая функция содержит более двух переменных, тогда необходимо (или методом последовательного улучшения решения) - он универсален и им можно решить любую ЗЛП. Для некоторых прикладных задач линейного программирования, таких как , разработаны специальные методы решения.
Пример решения задачи
Условие задачи
Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить кг сырья первого типа, кг сырья второго типа, кг сырья третьего типа. На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить кг первого типа, сырья второго типа, сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве кг, кг, кг соответственно. Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет тыс руб., а единицы Изделия 2 - тыс. руб.
Требуется:
- Построить математическую модель задачи.
- Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.
Чтобы решение задачи по линейному программированию было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по линейному программированию...
Решение задачи
Построение модели
Через и обозначим количество выпускаемых изделий 1-го и 2-го типа.
Тогда ограничения на ресурсы:
Кроме того, по смыслу задачи
Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую от реализации выручку:
Получаем следующую экономико-математическую модель:
Построение области допустимых решений
Решим полученную задачу линейного программирования графическим способом:
Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:
Найдем точки, через которые проходят прямые:
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:
Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость
Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:
Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:
Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость
Областью допустимых решений является фигура .
Нахождение решения задачи ЛП
Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь - коэффициент пропорциональности.
Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .
Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (2) и (1).
Ответ
Таким образом необходимо выпускать 56 изделий 1-го вида и 64 изделия 2-го вида. При этом выручка от реализации изделий будет максимальна и составит 5104 ден.ед.
Метод графического решения, если задача с двумя переменными имеет линейные ограничения,
а целевая функция - квадратичная, подробно рассмотрен здесь
На странице подробно разобрано решение задачи линейного программирования симплексным методом, кроме того, показано построение двойственной задачи линейного программирования и нахождение ее решения по решению прямой задачи.
Транспортная задача и метод потенциалов
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.
Выпуклое программирование - графический метод
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.
На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения задач линейного программирования , то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели - линейная функция - принимает оптимальное значение.
Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.
Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.
Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того, он позволяет геометрически подтвердить справедливость теорем линейного программирования .
Теоретические основы графического метода
Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные значения переменных и , удовлетворяющих системе неравенств
при которых линейная форма принимает оптимальное значение.
Пример 3.
Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти минимум функции при ограничениях
Продолжаем решать задачи графическим методом вместе
До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые отличают эти исключительные примеры.
Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях
Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума целевой функции.
Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .
Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости (х 1 ,х 2 ) некоторую полуплоскость (рис. 1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена, выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.
Примечание № 1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство
a il x 1 +a i 2 x 2 =b
можно представить в виде системы двух неравенств (рис. 1)
A i 2 x 2 <Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.
ЦФ L(x)= с1х1 + с2х2 при фиксированном значении L(х)=L определяет на плоскости прямую линию с1х1 + с2х2 = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси х2 (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой tgа = -- останется постоянным (рис. 1).
Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор C = (c1;c2) с координатами из коэффициентов ЦФ при х1 и х2 перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 1). Направление вектора С совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора С.
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора С в ОДР производится поиск оптимальной точки X = (х1; х2). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня L max (L min), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(x). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.
Допустимая область - полуплоскость
Рисунок 1
1.2. Методика решения задач лп графическим методом
I. Вограничениях задачи замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.
II. Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.
Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.
Поскольку х1 и х2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси х 1 и правее оси х2, т.е. в 1-м квадранте.
Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.
Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.
Если ОДР - не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е. любую из линий уровня с 1 х 1 + с 2 х 2 = L, где L - произвольное число, например, кратное с 1 и с 2 , т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.
V. Постройте вектор C = (c 1 ,с 2), который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке (c 1 ,с 2). Если целевая прямая и вектор С построены верно, то они будут перпендикулярны.
VI. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора С, при поиске min ЦФ - против направления вектора С. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске шах) или снизу (при поиске min).
Определите координаты точки max (min) ЦФ X = (х1 * ; х2 * ) и вычислите значение ЦФ l(x *). Для вычисления координат оптимальной точки X * решите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится X * .
Задача 1
Найдем оптимальное решение задачи, математическая модель которой имеет вид
L(Х) = 3x 1 + 2x 2 → max
х 1 + 2х 2 < 6, (1)
2х 1 + х 2 < 8, (2)
Х 1 +х 2 <1, (3)
х 2 < 2, (4)
х 1 >0,х 2 >0.
Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис. 2).
х 1 + 2х 2 = 6,(1)
2х1 + х2= 8,(2)
(1) х1=0, х1=6, х2=3, х2=0,
(2) х1=0, х1=4, х2=8, х2=0,
(3) х1=0, х1=-1, х2=1, х2=0,
Прямая (4) проходит через точку х 2 = 2 параллельно оси L(Х).
Рис. 2. Графическое решение задачи
Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 0 < 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (рис. 2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.
Целевую прямую можно построить по уравнению
Строим вектор С из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е- это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора С. Поэтому Е -это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)
Х1 +2х 2 =6, (1) х1=10/3=3 1/3, х2=4/3=1 1/3
2 Х1 +х 2 =8, (2) Е 3 1/3; 1 1/3
Максимальное значение ЦФ равно L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2 / 3